নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি ও বহুমাত্রিক জগৎ

মুহম্মদ মাজহারুল ইসলাম মাজহার

বর্তমান সময়ে ‘একীভূতকরণ’ বা ‘একত্রীকরণ’ পদার্থবিজ্ঞানে আগ্রহীদের জন্য একটি বহুল প্রচলিত পরিচিত শব্দ। বিগত কয়েক দশক ধরে পদার্থবিজ্ঞানের সমস্ত তত্ত্বকে একত্র করার প্রচেষ্টা চলছে। সম্প্রতি LHC (Large Hadron Collider) সারা পৃথিবীতে একটা তুমুল হৈ-চৈ সৃষ্টি করেছে। পদার্থবিজ্ঞানের অনেক অমীমাংসিত প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে সেখানে। ইতিমধ্যে এ প্রসঙ্গে বিভিন্ন তত্ত্বও তৈরি করা হয়েছে। Grand Unified Theory (GUT), Theory of everything (TOE) এরকম দুটো গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব। এসব তত্ত্বের মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল- মহাবিশ্বের প্রধান চার প্রকৃতির বলসমূহকে (মহাকর্ষ, নিউক্লিয়ার, বিদুৎ চৌম্বকীয় ও উইক বল) একত্র করা। বিস্তৃত অর্থে- পদার্থবিজ্ঞানের যতরকম আংশিক তত্ত্ব আছে, সবগুলোকে একত্র করে পরস্পরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সকল মৌলিক রাশির উপস্থিতিতে গৃহীত তত্ত্বটাই হল একীভূত তত্ত্ব (unified theory)।

উপরিউক্ত বক্তব্যের সাথে নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির কী সম্পর্ক, তা বুঝতে হলে এই প্রবন্ধটির শেষ পর্যন্ত পড়তে হবে। তবে শুরুটা করতে চাই এখান থেকে-

ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির সমস্যা-

ক. স্বীকার্য প্রমাণ বিষয়কঃ

খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ সালে ১৩ খণ্ডে প্রকাশিত ‘The Elements’ গ্রন্থে ইউক্লিড তাঁর পূর্বসূরি- পিথাগোরাস, হিপোক্রেটাস, থিটিটাস, ইউডোক্সাসের উপপাদ্যগুলোকে কতকগুলো সমন্বিত অংশে প্রকাশ করার চেষ্টা করেন। যেখানে তিনি স্বল্পসংখ্যক সংজ্ঞা এবং স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে পূর্ববর্তি সমস্ত জ্যামিতিকে নির্দিষ্ট কাঠামো দিয়ে এক নতুন শাস্ত্র গড়ে তোলেন। ‘বিন্দু’, ‘রেখা’, ‘বৃত্ত’, ‘কোণ’ সম্পর্কে ধারণা দেন। তবে সমস্যা হল তাঁর পঞ্চম স্বীকার্যটি (fifth postulate) নিয়ে। সেটি হল-

“যদি কোনো সরলরেখা অন্য দুটি সরলরেখাকে ছেদ করে এবং একইদিকে অন্তঃস্থ কোণ দুটির সমষ্টি দুই সমকোণের কম হয়, তবে যে দিকে অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের কম সেইদিকে সরলরেখা দুটি অসীমভাবে বাড়ালে তারা মিলিত হবে।”
এই স্বীকার্যটির সমস্যা এখানে যে, এটিকে পূর্বোক্ত চারটি স্বীকার্যের সাহায্য প্রমাণ করা যায় না। যদি প্রমাণ করা সম্ভব হত, তাহলে এটি একটি প্রতিজ্ঞায় পরিণত হত। প্রথম চারটি স্বীকার্যকে ব্যবহার করে বিভিন্ন প্রতিজ্ঞা প্রদান করা গেছে। যেগুলোকে ইউক্লিড ‘পরম জ্যামিতি’ বলে অভিহিত করেছেন। অথচ পঞ্চম স্বীকার্যটি প্রমাণের জন্য আমার কতগুলো অনুসিদ্ধান্ত গ্রহণ করতে পারি-
১. একটি সরলরেখার বহিঃস্ত একটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই সরলরেখা আঁকা যায়, যা প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল।
২. অসমরৈখিক তিনটি বিন্দু দেওয়া থাকলে একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
৩. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
এগুলো মূলত পঞ্চম স্বীকার্য থেকেই উদ্ভূত সিদ্ধান্ত। ফলে স্বীকার্যের অনুসিদ্ধান্ত থেকে স্বীকার্য প্রমাণ করাটা যৌক্তিক প্রক্রিয়া নয়। এজন্য প্রায় দুই হাজার বছর ধরে চেষ্টা করা হয়েছে ইউক্লিডের এই পঞ্চম স্বীকার্যটিকে অন্যান্য সম্পাদ্য থেকে প্রমাণ করার জন্য। কিন্তু তা সম্ভব হয় নি। এবং আজ আমরা জানি তা কখনো সম্ভব হবে না। ইউক্লিড নিজেও বুঝেছিলেন এই সত্যটি। এজন্য তিনি পঞ্চম স্বীকার্য ব্যবহার করে যেসকল জ্যামিতিক প্রমাণ করেছেন, সেগুলোকে ‘পরম জ্যামিতি’ এর মর্যাদা দেন নি।

খ. রেখা ও ক্ষেত্রেফল বিষয়কঃ

ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে ‘রেখা’ ও রেখা সংশ্লিষ্ট সকল জ্যামিতিক সংজ্ঞাকে সমতলে বর্ণনা করা হয়েছে। যেমনঃ সমতলে অসীমসংখ্যক বিন্দুকে অবিচ্ছিন্নভাবে পাশাপাশি সাজিয়ে আমরা সরলরেখা বা বক্ররেখা পাই। লক্ষণীয় বিষয়টি হল- বক্ররেখা কিন্তু বক্রতলে অবস্থিত নয়; সমতলে অবস্থিত বক্রভাবে অঙ্কিত রেখা। সরলরেখা বা বক্ররেখাকে পাশাপাশি বা সুনির্দিষ্টভাবে সাজিয়ে আমরা বিভিন্ন ক্ষেত্র তৈরি করতে পারি। তিনটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র একটি ত্রিভুজক্ষেত্র তৈরি করে। তেমনি একটি অবিচ্ছিন্ন বক্ররেখা থেকে একটি বৃত্ত তৈরি করা সম্ভব। অর্থাৎ বিভিন্ন রেখা থেকে বিভিন্ন ক্ষেত্র তৈরি করা যায়। ইউক্লিডিয় জ্যামিতির একটি সমস্যা রয়েছে এখানে। সেটি হল- সমতলে অবস্থিত যেকোনো কাঠামোর জন্য এই জ্যামিতিক নীতিগুলো সত্য হলেও বক্রতলে এগুলো সত্য নয়। যেহেতু আমাদের বিশ্বব্রহ্মাণ্ড বক্র, তাই মহাজগতকে বিশ্লেষণ করার জন্য সমতলীয় জ্যামিতি, তথা ইউক্লিডিয় জ্যামিতি অকার্যকর। সেক্ষেত্রে আমাদের বক্রতলের জ্যামিতি ব্যবহার করতে হবে। আর বক্রতলে ‘সমতলীয় সরলরেখা’র সংজ্ঞাও ভিন্ন। বলার অপেক্ষা রাখে না, সরলরেখার উপরে যেহেতু বিভিন্ন কাঠামো বা ক্ষেত্র নির্ভর করে, তাই সরলরেখার সংজ্ঞা পাল্টে গেলে ঐসকল ক্ষেত্রের জ্যামিতিক নীতিও পাল্টে যাবে। মোটকথা, ইউক্লিডিয় জ্যামিতির প্রয়োগ শুধুমাত্র ক্ষুদ্র অবস্থানে (সমতল) করা যায়, কিন্তু বৃহৎ ক্ষেত্রে আমাদেরকে বক্রতলের জ্যামিতি ব্যবহার করতে হবে।

গ. মাত্রা বিষয়ক সমস্যাঃ

ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে আমরা বিভিন্ন মাত্রা ব্যবহার করে থাকি। যেমনঃ শূন্যমাত্রা, একমাত্রা, দ্বিমাত্রা, ত্রিমাত্রা ইত্যাদি। বিজ্ঞানী ডেকার্তে আবিষ্কৃত কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় বিন্দু হল শূন্যমাত্রিক, রেখা একমাত্রিক, পস্পরচ্ছেদী লম্ব আকৃতির দুটি রেখা দ্বিমাত্রিক ইত্যাদি। এভাবে আমার বিভিন্ন মাত্রার জ্যমিতিক কাঠামো গঠন করতে পারি। তবে সমস্যা হল- এই স্থানাঙ্ক কাঠামো কিন্তু সরলরৈখিক। এবং ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে অবস্থিত দুটি বিন্দুর মধ্যে ক্ষুদ্রতর দূরত্বও একটি সরলরেখা। কিন্তু আমাদের বিশ্ব সরলরৈখিক নয়। আমাদের পৃথিবী গোলীয়, তথা বক্র। তাই পৃথিবীপৃষ্ঠে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব সরলরৈখিক হবে না, বক্র হবে। এক্ষেত্রে আমাদেরকে অতি সাধারণ বক্ররৈখিক অক্ষ ব্যবহার করতে হবে।
এখানে আরো একটি বড় সমস্যা রয়েছে। আমাদের চোখে এই বিশ্ব ত্রিমাত্রিক। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে এই বিশ্বব্রহ্মাণ্ড ত্রিমাত্রিক নয়। এখানে আরো অনেক মাত্রা রয়েছে। সাধারণভাবে আমরা চারটি মাত্রাকে বিবেচনায় আনতে পারি, অন্যগুলো খুবই সংকুচিত অবস্থায় থাকায় আমারা তাদেরকে বিবেচনায় আনতে পারি না। সুতরাং স্পষ্টভাবে বলা যায়, আমাদের পরিচিত এই বিশ্ব চতুর্মাত্রিক। চতুর্মাত্রিক স্থানে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতার সাথে সময়ও একটা অক্ষ নির্দেশ করে। সময়কে অক্ষ হিসেবে ধরা হলে কোনো বস্তুর উপস্থিতিতে চতুর্মাত্রিক স্থান-কাল বিকৃত হয়ে যায়। যেখানে ইউক্লিডিয় জ্যামিতি সম্পূর্ণরূপে ভেঙে পড়ে।

উত্তর-ইউক্লিডিয় জ্যামিতির সূত্রপাত-

৩০০ সাল থেকে উনিশ শতকের শেষ পর্যন্ত জ্যামিতি শুধুমাত্র ইউক্লিডের ‘The Elements’ বইটির মধ্যে সীমাবদ্ধ ছিল। দীর্ঘ দুই হাজার বছর ধরে ইউক্লিডিয় জ্যামিতি সমগ্র ইউরোপে ব্যাপক প্রভাব বিস্তার করে ছিল। তৎকালীন সময়ে সকল গণিতবিদেরই একটা অপরিহার্য মৌলিক কাজ হল ইউক্লিডের সেই পঞ্চম স্বীকার্যটি প্রমাণ করা ! তবে দুঃখের বিষয় কেউই এটি প্রমাণ করতে পারেন নি। টলেমি, প্রোক্লোস, নাসিরুদ্দীন আল তুসী, লেভি বেন গার্সন, পি এ ক্যাটাল্ডি, জি এ বোরেল্লি, জি ভিটালে, জন ওয়ালিস, জি সাখেরি, জে এইচ ল্যাম্বার্ট এবং এ এম লেজেন্ডার; এঁরা সকলেই বিভিন্ন স্বতঃসিদ্ধ সাহায্যে প্রমাণ করার চেষ্টা করেছেন ঐ স্বীকার্য। কিন্তু ব্যর্থ হয়েছেন। আমরা জানি, বিজ্ঞান তথা গণিতে ব্যর্থতা বলে কিছু নেই। এখানে কেউ যদি ব্যর্থ হয়, তাহলেও একটি আবিষ্কার হয় ! কেননা, তার পরবর্তিতে অন্যরা বুঝতে পারে যে- ঐ পথটিতে গেলে ব্যর্থ হতে হবে। তাই সৃষ্টি করা প্রয়োজন নতুন পথ। আশ্চর্যের বিষয় হল- এই সত্যটুকু কাজে লাগিয়ে অ-ইউক্লিডিয় জ্যামিতির গোড়াপত্তন হয়।

১. ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি
বিজ্ঞানী প্রোক্লেস পঞ্চম স্বীকার্যের পরিবর্তে একটি নতুন স্বতঃসিদ্ধ আবিষ্কার করেছিলেন। সেটি হল- “যদি কোনো সরলরেখা দুটি সমান্তরাল সরলরেখার একটিকে ছেদ করে তবে তা অন্যটিকেও ছেদ করবে।” অষ্টাদশ শতাব্দীর মধ্যভাগে ১৭৩৩ সালে জেসুইট পাদ্রী সাখেরী তাঁর একটি গ্রন্থে ইউক্লিডিয় জ্যামিতির পঞ্চম স্বীকার্যটির গুরুত্ব যৌক্তিকভাবে পর্যালোচনা করেন। এবং তিনি বিশ্বাস করতেন যে, ইউক্লিডিয় জ্যামিতি ছাড়া অন্য কোনো জ্যামিতি হতে পারে না। তবে ইউক্লিডিয় জ্যামিতিকে অস্বীকার করে নতুন তত্ত্ব আবিষ্কার করার পক্ষে ছিলেন সর্বকালের শ্রেষ্ঠতম গণিতবিদদের একজন, কার্ল ফ্রেডরিক গাউস। তাঁর হাতেই সূত্রপাত ঘটে অ- ইউক্লিডীয় জ্যামিতির (Non-Eucledian Geometry)। ১৮২৪ সালে তিনি তাঁর এক বন্ধুকে চিঠিতে এই ‘অবিশ্বাসী মতবাদ’ চিঠি লিখে জানান-
“শ্রদ্ধেয় বন্ধু,
আমি সারা জীবন ধরে চেয়েছি যা সত্য তার নির্বিবাদ প্রকাশ হোক। সত্য ছাড়া বিজ্ঞানে আর আছেটা কী ? কিন্তু তুমিতো সমকালের ইতিহাস জানো, সারা ইউরোপের তাবৎ গণিতবিদরা ইউক্লিডে অন্ধ। এদের মতে ইউক্লিডের জ্যামিতিতে হাত দেয়া মানেই এক স্বতঃসিদ্ধ সার্বজনীন সত্যকে নিষিদ্ধ করা। তুমিই বলো, এমন আকাশ বাতাস যেখানে সেখানে আমি কীভাবে ইউক্লিড বিরোধী জ্যামিতির উদঘাটন করি? যদিও জানি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি অত্যন্ত যুক্তিযুক্ত ও সত্য। কিন্তু এমন অবস্থায় তা করলে লোকে আমার চৌহুদ্দিতে এসে চিৎকার করবে, গালিগালাজ দেবে , আমার মনের শান্তিতে ব্যাঘাত ঘটাবে, এটা ভাবতেও আমার ভয় হয়। এই হুজুকে পাগলদের আমি হাড়ে হাড়ে চিনি।”
গাউসের সেই বন্ধুটি হলেন উলফ্‌গ্যাং বোলাই। তাঁর পুত্র বিখ্যাত গণিতবিদ জানোস্‌ বোলাই ১৯৩২ সালে ‘উত্তর-ইউক্লিডিয়’ জ্যামিতি আবিষ্কার করেন। এবং ১৮২৬ সালে রাশিয়ার নিকোলাই ইভানোভিচ্‌ লোভাচেভ্‌স্কিও একই জ্যামিতি আবিষ্কার করেন। যাকে আধুনিক ভাষায় বলা হয় ‘ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট দ্বিমাত্রিক জগৎ’। অবশ্য তাঁরা এই জ্যামিতির পূর্ণতাদান করতে পারেন নি। কারণ ঐসময় বিভিন্ন জ্যোতির্বিজ্ঞানীয় পরিমাপ আবিষ্কৃত হয় নি। ফলে তাত্ত্বিকভাবে কিছুটা মত প্রকাশ তাঁরা করেছিল; কিন্তু চূড়ান্ত প্রমাণ সম্পন্ন হয়েছিল ১৮৭০ সালে ইতালীয় জ্যামিতিবিদ ইউজিনো বেলত্রামি ও জার্মান গণিতজ্ঞ ফেলিক্স ক্লেইনের সাহায্যে।
২. ধণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি
১৮৫৪ সালের ১০ জুন গটিনগেন বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন তরুণ গণিতজ্ঞ জর্জ ফ্রিড্রিশ রিম্যান (১৮২৬-১৮৬৬) ‘On the Hypotheses that Lie at the Foundation of Geometry’ শিরোনামে একটা বক্তব্য প্রদান করছিলেন। যেখানে কার্ল ফ্রেডরিক গাউস উপস্থিত ছিলেন। আসলে রিম্যান গটিনগেন বিশ্ববিদ্যালয়ে লেকচারার পদে যোগ দেওয়ার জন্য তিনটি থিসিস লিখে কর্তৃপক্ষকে জমা দিয়েছিলেন। ভাগ্যক্রমে কর্তৃপক্ষের একজন গাউস। গাউস ভেবে উঠতে পারেন নি, কিভাবে এত অল্প বয়সে এই কঠিন বিষয়টি সে আয়ত্বে আনল। এছাড়া গাউসের উত্তর-ইউক্লিডিয় জ্যামিতির প্রতি গভীর আগ্রহ ছিল। তাই তিনি ব্যগ্রচিত্তে তন্ময় হয়ে রিম্যানের সেই লেকচারটি শুনেছিলেন। এবং বক্তৃতা শেষ হওয়ার পর গাউস নিঃশব্দে উঠে অলস গতিতে বের হয়ে যান ! কারণ রিম্যানের থিসিস তাঁকে বিস্মিত করেছিল। পরবর্তীতে জার্মান গণিতজ্ঞ উইলিয়াম ওয়েবারের কাছ থেকে জানা যায়- গাউস তখন রিম্যানের উচ্চ প্রশংসা করেছিলেন। যা তিনি সচরাচর করতেন না ! যাহোক, রিম্যানের তত্ত্বটির ভিত্তি ছিল মূলত ধনাত্নক বক্রতা নিয়ে। জানোস্‌ বোলাই ও নিকোলাই ইভানোভিচ্‌ লোভাচেভ্‌স্কির পথ অনুসরণ করে তিনি এই নতুন জ্যামিতিক কাঠামো আবিষ্কার করেন। যা পরবর্তিতে জ্যোতিপদার্থবিজ্ঞানের সাথে জ্যামিতিকে একীভূত করতে সাহায্য করে।

সম্পূর্ণ জ্যামিতিক আলোচনা-
এতক্ষণ আমারা জ্যামিতির ক্রমবিকাশ নিয়ে বিভিন্ন ঐতিহাসিক ঘটনাবলী আলোচনা করলাম। এবারে হবে সম্পূর্ণ জ্যামিতিক আলোচনা। প্রবন্ধের প্রথম অংশে আমরা ইউক্লিড, তথা সমতল জ্যামিতি সম্পর্কে ধারণা পেয়েছি। এখন পর্যায়ক্রমে বক্রতলীয় জ্যামিতির বিষয়গুলো আলোচনা করা হবে।

আলোচনার পূর্বে আমাদের কতগুলো জ্যামিতিক সংজ্ঞার সাথে পরিচিত হতে হবে। যেমনঃ- দূরত্ব, জিওডেসিক, মেনিফোল্ড।

দূরত্বঃ ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে দূরত্ব বলতে বোঝায়- দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখার দৈর্ঘই হল বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব।
জিওডেসিক (geodesic): অ-ইউক্লিডিয় জ্যামিতিতে জিওডেসিক বলতে বোঝায়- দুটি বিন্দুর মধ্যকার সোজা পথকে।
মেনিফোল্ড (manifold): মেনিফোল্ড মূলত বিভিন্ন স্থানকে নির্দেশ করে। এখানে স্থান বলতে অবশ্য পৃষ্ঠকে বোঝানো হয়। যেমনঃ শূন্যমাত্রিক পৃষ্ঠ, একমাত্রিক পৃষ্ঠ, দ্বিমাত্রিক-ত্রিমাত্রিক-চতুর্মাত্রিক কিংবা বহুমাত্রিক পৃষ্ঠ। এসব পৃষ্ঠকে যদি n দ্বারা প্রকাশ করা হয়, অর্থাৎ n-মাত্রিক পৃষ্ঠ বোঝানো হয়, তবে ঐ n-পৃষ্ঠে n-এর সমান বা তার থেকে কম মাত্রার জ্যামিতিক চিত্র আঁকানো সম্ভব।

ব্যাখ্যাঃ প্রথমে দূরত্বের বিষয়টি স্পষ্ট হওয়া যাক। সাধারণভাবে দুটি বিন্দুর দূরত্ব বলতে একটা পথকে নির্দেশ করে। যেমনঃ একটি ফুটবলের উপরে যদি একটি পিঁপড়াকে কল্পনা করা হয়, তাহলে ফুটবলের উপরপৃষ্ঠে, যেখানে ঐ পিঁপড়াটি অবস্থান করছে, সেখান থেকে সম্পূর্ণ বিপরীত পৃষ্ঠে যদি পিঁপড়াটিকে যেতে হয়, তাহলে সে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করবে ? যেহেতু ফুটবলটি গোলাকার, তাই বলা যায়- ফুটবলের ব্যাসের সমান দূরত্ব অতিক্রম করবে। কিন্তু আসলেই কি তাই ? সেটা কি সম্ভব ? অবশ্যই নয়। কেননা পিঁপড়াটি উপরপৃষ্ঠ ভেদ করে ব্যাস বরাবর সরাসরি অপর পৃষ্ঠে যেতে পারবে না। এজন্য তাকে ফুটবলের পরিধি বরাবর যেতে হবে। সোজাসুজি অর্ধ পরিধি অতিক্রম করলে পিঁপড়াটি ফুটবলের উপরপৃষ্ঠ থেকে বিপরীত বা তলপৃষ্ঠে পৌঁছাতে পারবে। প্রশ্ন হতে পারে- দূরত্বের ব্যাখ্যার জন্য কেন আমরা একটা গোলীয় পৃষ্ঠ কল্পনা করছি ? সমতল পৃষ্ঠ কল্পনা করলে সমস্যা কী ছিল ? সমস্যা এখানে যে- আমাদের পৃথিবীটা সমতলীয় নয়, গোলীয়। এবং সমগ্র বিশ্বব্রহ্মাণ্ডই বক্র। তাই জ্যামিতিকে পূর্ণাঙ্গভাবে বিশ্লেষণ করার জন্য আমাদেরকে এক্ষেত্রে গোলীয় বস্তু দিয়ে ব্যাখ্যা করতে হয়েছে। যাহোক, তাহলে বোঝা গেল- পিঁপড়াটি যেহেতু ফুটবলের ব্যাস বরাবর যেতে পারছে না; এবং পরিধি বরাবর যাওয়াটাই সবচেয়ে সোজা পথ, তাই বলা যায় এটিই হল দূরত্ব। যাকে বলা হয়- ‘জিওডেসিক’। এটি অ-ইউক্লিডিয় জ্যামিতি বোঝার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। এবার এসা যাক মেনিফোল্ডে। উপরিউক্ত অংশ থেকেই বোঝা যায় মেনিফোল্ড হল বিভিন্ন মাত্রার ধারণা। আমরা খাতাপত্রে তথা সমতল পৃষ্ঠে যে ‘বিন্দু’ আঁকি তা হল শূন্যমাত্রিক, ‘রেখা’- একমাত্রিক, ‘ত্রিভুজ’-দ্বিমাত্রিক ইত্যাদি। এছাড়া মোবাইল-টেলিভিশন-কম্পিউটারে আমরা দ্বিমাত্রিক বস্তু দেখে থাকি। আবার ত্রিমাত্রিক বস্তুর দ্বিমাত্রিক প্রতিরূপও দেখা যায়। কিন্তু অবশ্যই দ্বিমাত্রিক মেনিফোল্ডে ত্রিমাত্রিক বস্তু দেখা যাবে না। এটি আমাদের জন্য একটা বিরাট সমস্যা সৃষ্টি করে। কেননা, আমাদের বাস্তব জগতে আমারা যা কিছু দেখি তার প্রায় সবকিছুই ত্রিমাত্রিক। ফলে দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠে ত্রিমাত্রিক বস্তুর আকৃতি কল্পনা করা আমাদের জন্য খুবই কষ্টকর। বোধকরি নূন্যতম ‘বক্রতলীয় জ্যামিতি’ বোঝার জন্য এ আলোচনাটুকুই যথেষ্ট।

ক. অধিবৃত্তীয় জ্যামিতিঃ
অধিবৃত্তীয় বা হাইপারবোলিক (hyperbolic) জ্যামিতিকে পূর্বে বলা হয়েছে- ‘ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি’। জানোস্‌ বোলাই, নিকোলাই ইভানোভিচ্‌ লোভাচেভ্‌স্কি ও কার্ল ফ্রেডরিক গাউস পৃথকভাবে এই জ্যামিতি আবিষ্কার করেন। যে স্থানের প্রতিটি জিওডেসিক এক-একটি হাইপারবোলা হয় এবং তারা যদি একটি অক্ষের চারদিকে সমভাবে সাজানো থাকে, তবে স্থানটি হাইপারবোলিক হবে। আর সেটি দেখতে হবে হাইপারবোলয়েডের মতো।

চিত্রঃ অধিবৃত্তীয়স্থানে ত্রিভুজ এবং সমান্তরাল রেখা

চিত্রে দেখা যাচ্ছে, হাইপারবোলিক স্থানে অঙ্কিত সমান্তরাল রেখাটি পরস্পর হতে দূরে সরে যাচ্ছে। আর ত্রিভুজটি যে বাহুগুলো দ্বারা গঠিত, তারা বক্র। ফলে এখানে অঙ্কিত ত্রিভুজক্ষেত্রের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি নয়। সুতরাং এ থেকে আমরা পূর্বে উল্লিখিত ইউক্লিডিয় জ্যামিতির সাথে এটির একটি তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারি-

ইউক্লিডের পঞ্চম স্বীকার্যটি প্রমাণ করতে গিয়ে যে তিনটি অনুসিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল, তার মধ্যে এই দুটি রয়েছে-
১. একটি সরলরেখার বহিঃস্ত একটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই সরলরেখা আঁকা যায়, যা প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল।
২. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
কিন্তু হাইপারবোলিক স্থানে একই বিন্দু দিয়ে একাধিক সরলরেখা আঁকা যায়। এবং ঐ সরলরেখাগুলোর প্রত্যেকেই অপর কোনো সরলরেখার সমান্তরাল। ইউক্লিড সমান্তরাল রেখা বলতে বুঝিয়েছেন- দুটি রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যদি সর্বদা সমান থাকে, এবং এদেরকে অসীমতক বিস্তৃত করলেও পরস্পরকে ছেদ করে না, এমন দুটি রেখাই পরস্পর সমান্তরাল। হাইপারবোলিক স্থানে সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে না। ক্রমশই এদের মধ্যকার দূরত্ব বৃদ্ধি পেতে থাকে। Hyperbola শব্দটি গ্রিক ‘Hyperballein’ থেকে এসেছে। যার অর্থ ‘দূরে ছোটা’।

হাইপারবোলিক স্থানে যেহেতু সরলরেখা বক্র হয়ে যায়, তাই বক্ররেখা দ্বারা কোনো কাঠামো আঁকলে তাও বক্র হবে। ফলে এখানে তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ কাঠামো আঁকলে যে তিনটি কোণ উৎপন্ন হবে, সমতলীয় জ্যামিতি অনুসারে তাদের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হবে না। তার চেয়ে কম হবে। এজ্জন্যই এটাকে ‘ঋণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি’ বলা হয়েছে। এখানে একটি ঘটনা উল্লেখ করা প্রয়োজন।

ঘটনা ১: কার্ল ফ্রেডরিক গাউস দৃঢ় ভাবে বিশ্বাস করতেন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম। এই সত্যতা প্রমাণ করার জন্য তিনি এক অদ্ভুত কাণ্ড ঘটালেন। তিনজন লোককে তিনি তিনটি পাহাড়ের মাথায় উঠালেন। প্রত্যেকে তার নিজের সঙ্গে অন্য দুজনের মধ্যে যে কোণ উৎপন্ন করল তা বের করলেন। তিনটি কোণের মাপ তিনজনের কাছ থেকে আলাদাভাবে নিলেন গাউস, তারপর কোণ তিনটি যোগ করলেন। দেখা গেল যোগফল ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম ! এছাড়া লোভাচেভ্‌স্কি আরো বড় একটা ত্রিভুজকে কল্পনা করেছিলেন। তিনি পৃথিবীর দুটি অবস্থান ও বহুদূরবর্তী একটা নক্ষত্রকে তিনটি বিন্দু ধরে একটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ গঠন করেন। যার ক্ষুদ্রতম বাহুটির দৈর্ঘ ছিল ১৮ কোটি মাইলেরও বেশি ! এভাবে তিনি নক্ষত্রের প্যারালাক্স পরিমাপ করেছিলেন। আর সেখানে দেখা গিয়েছিল ঐ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুইসমকোণ অপেক্ষা কম। যদিও জ্যোতির্বিজ্ঞান তখনও উন্নত হয় নি খুব একটা, তাই তার হিসাবে কিছু ত্রুটি ছিল।

খ. উপবৃত্তীয় জ্যামিতিঃ
উপবৃত্তীয় বা গোলকীয় (Elliptical) জ্যামিতিকে পূর্বে বলা হয়েছে- ‘ধণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি’। জর্জ ফ্রিড্রিশ রিম্যান এই জ্যামিতি আবিষ্কার করেন। যে স্থানের প্রতিটি জিওডেসিক এক-একটি উপবৃত্ত হয় এবং তাদের প্রতিজোড়া যদি দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে সেই স্থানটিকে উপবৃত্তীয় বলে। আর সেটি দেখতে হবে ইলিপ্সয়েডের মতো।

চিত্রে দেখা যাচ্ছে, উপবৃত্তীয় স্থানে অঙ্কিত সমান্তরাল রেখাটি পরস্পর সন্নিকটে আসছে। আর ত্রিভুজটি যে বাহুগুলো দ্বারা গঠিত, তারা বক্র। ফলে এখানে অঙ্কিত ত্রিভুজক্ষেত্রের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি নয়। সুতরাং এ থেকে আমরা পূর্বে উল্লিখিত ইউক্লিডিয় জ্যামিতির সাথে এটির একটি তুলনামূলক বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারি-

ইউক্লিডের পঞ্চম স্বীকার্যটি প্রমাণ করতে গিয়ে যে তিনটি অনুসিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছিল, তার মধ্যে এই দুটি রয়েছে-
১. একটি সরলরেখার বহিঃস্ত একটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই সরলরেখা আঁকা যায়, যা প্রদত্ত সরলরেখার সমান্তরাল।
২. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ইউক্লিডিয় সমান্তরাল রেখা বলতে বোঝায়- দুটি রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যদি সর্বদা সমান থাকে, এবং এদেরকে অসীমতক বিস্তৃত করলেও পরস্পরকে ছেদ করে না, এমন দুটি রেখাই পরস্পর সমান্তরাল। উপবৃত্তীয় স্থানে সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে না। এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কমতে কমতে একসময় তা পরস্পকে ছেদ করে। Ellipse নামটি গ্রিক শব্দ ‘Elleipein’ থেকে এসেছে। যার অর্থ ‘কমতে থাকা’। যেহেতু উপবৃত্তে সমান্তরাল রেখার দূরত্ব কমতে থাকে, তাই এদের এই নামকরণ করা হয়েছে।

উপবৃত্তীয় স্থানে যেহেতু সরলরেখা বক্র হয়ে যায়, তাই বক্ররেখা দ্বারা কোনো কাঠামো আঁকলে তাও বক্র হবে। ফলে এখানে তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ কাঠামো আঁকলে যে তিনটি কোণ উৎপন্ন হবে, সমতলীয় জ্যামিতি অনুসারে তাদের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি হবে না। তার চেয়ে বেশি হবে। এ জন্যই এটাকে ‘ধণাত্মক বক্রতাবিশিষ্ট জ্যামিতি’ বলা হয়েছে। বর্তমানে ‘অধিবৃত্তীয়’ ও ‘উপবৃত্তীয়’ জ্যামিতিকে একত্রে ‘রিম্যানীয় জ্যামিতি’ বলা হয়।

পাই (π) কি সর্বজনীন ধ্রুবক ?

সাধারণভাবে আমরা পাই-কে সর্বজনীন ধ্রুবক (universal constant) মনে করি। আসলে এটা সত্যি যে- সমতলে অবস্থিত বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাত সর্বদা সমান থাকে। যদি একটা বৃত্তের পরিধিকে বলা হয় α এবং ব্যাসকে বলা হয় β, তাহলে এই দু’য়ের অনুপাত α/β এই পৃথিবী কিংবা বিশ্বব্রহ্মাণ্ডের সকল বৃত্তের জন্য সমান হবে। যাকে পাই (π) বলা হয়। কিন্তু সমস্যা হল- সমগ্র বিশ্বব্রহ্মাণ্ডের আয়তনের তুলনায় সমতল জায়গার পরিমাণ খুব কম। এজন্য আমাদেরকে সর্বদা বক্রস্থানে জ্যামিতিক বিষয়গুলো কিভাবে পরিবর্তিত হচ্ছে, তা দেখতে হয়। এখন দেখা যাক, বক্রস্থানে অর্থাৎ রিম্যানীয় মেনিফোল্ডে পাই-এর মানের পরিবর্তিত রূপ কেমন হয়।

চিত্রে দেখা যাচ্ছে, একটি গোলকপৃষ্ঠের উপরে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্র α, ব্যাসার্ধ r, গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত বৃত্তের পরিধিকে ধারণকারী সমতল, যা একটি সমতলীয় বৃত্ত C, গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত বৃত্তের পরিধিকে ধারণকারী সমতলে অবস্থিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ R, গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত বৃত্তের কেন্দ্র হতে ঐ বৃত্তের পরিধিকে ধারণকারী সমতলের দূরত্ব  গোলকপৃষ্ঠে অবস্থিত বৃত্তের পরিধি 2πr.
এখন এরূপ গোলকপৃষ্ঠের উপরে বৃত্ত আঁকলে, এবং তার কেন্দ্র থেকে পরিধিকে ধারণকারী সমতলে অবস্থিত বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্বের মান যদি অশূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেকক্ষত্রেই r>R হবে। উপরে পাই-এর মান বের করার জন্য আমার পরিধি ও ব্যাস-এর অনুপাত নির্ণয় করেছিলাম। তাহলে এক্ষেত্রে পরিধি হবে C এবং ব্যাস 2r. অতএব π= C/2r . কিন্তু আমরা পূর্বেই জেনেছি r>R. তাহলে এই π এর মান, সমতলে অবস্থিত বৃত্তের পাই-এর মান থেকে কম হবে। যেহেতু এখানে লব (C) এর মান অপরিবর্তিত থাকছে। কিন্তু হর (2r) পরিবর্তিত হয়েছে। সুতরাং বলা যায়, পাই-এর মান সর্বদা ধ্রুবক নয়। এবং উপবৃত্তীয় স্থানে পাই-এর মান সমতলে অবস্থিত পাই-এর মান (3.1415..) অপেক্ষা কম। একইভাবে হাইপারবোলয়েড স্থানে যেহেতু r এর মান কমে যায়, তাই সেখানে π এর মান বেড়ে যায়। তবে উল্লেখ্য যে- সুষম বৃত্তের একটা নির্দিষ্ট আকৃতি আছে। এবং এরা পস্পরের সদৃশ। কিন্তু সকল প্যারাবোলা (অধিবৃত্ত / উপবৃত্ত) সদৃশ নয়। তাই বর্তমানে পাই-এর মান নির্ণয় করার জন্য বৃত্তীয় পদ্ধতি অনুসরণ না করে ধারা পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়। এ থেকে প্যারাবলিক স্থানে পাই-এর মানের একটা সর্বজনীন ধ্রুবক (universal parabolic constant) পাওয়া যায়। যাকে P দ্বারা প্রকাশ করা হয়। P= 2.29558714939264….।

বহুমাত্রিক জগৎ

সাধারণভাবে বলা যায়, আমাদের পরিচিত জগৎটি ত্রিমাত্রিক। ত্রিমাত্রিক এজন্য যে- এই বিশ্বে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য আমারা তিনটি অক্ষ ব্যবহার করে থাকি। কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যদি বলা হয়- কোনো বস্তুর অবস্থান (৮,৬,৩) একক; তাহলে বুঝতে হবে সমতলে ৮ একক, লম্ব বরাবর ৬ একক এবং উলম্ব বরাবর ৩ একক দূরত্বে পৌঁছালে ঐ বস্তুটিকে সনাক্ত করা যাবে। তবে এক্ষেত্রে একটি শর্ত আছে। সেটি হল- সময়কে স্থির থাকতে হবে। কিন্তু আমরা জানি, বিশ্বব্রহ্মাণ্ডে কোনো কিছুই পরম স্থির নয়। এছড়া সবকিছুই সময়ের সাথে পরিবর্তনশীল। ফলে আমি কোনো বস্তুর অবস্থান তিনটি অক্ষের সাহায্যে দেখাতে পারি, তা ঠিক আছে; কিন্তু এখানে অবশ্যই সময়টি বিবেচ্য। কারণ সময়ের সাপেক্ষে ঐ বস্তুরটির অবস্থার বা অবস্থানের একটি পরিবর্তন হবে। যদিও নিউটনের গতির প্রথম সূত্র হতে আমরা জানি, “বাহ্যিক কোনো বল প্রয়োগ না করলে স্থির বস্তু চিরকাল স্থিরই থাকে এবং গতিশীল বস্তু সুষম দ্রুতিতে সরল পথে চলতে থাকে।” নিউটন তার গতির প্রত্যেকটি সূত্রের জন্য ইক্লিডিয় জ্যামিতি প্রয়োগ করেছিলেন। ফলে তাঁর কাছে ইউক্লিড হতে প্রদত্ত ধারণা অনুযায়ী ‘সময়’ ছিল একটা অপরিবর্তনীয় সাপেক্ষ। কিন্তু প্রকৃতপক্ষে ‘সময়’ পরিবর্তনশীল। সময় কিভাবে পরিবর্তিত হয়, তা ব্যাখ্যা করতে গেলে ‘থিওরি অব রিলেটিভিটি’ এর গোঁড়া থেকে শুরু করতে হবে। কিন্তু আমাদের মূল লক্ষ বহুমাত্রিক জগৎ চেনা; তাই ঐ প্রসঙ্গটি আলোচনায় না এনে আমরা আপাতত মেনে নিই- সময় একটি পরিবর্তনশীল রাশি। যেহেতু এটি পদার্থবিজ্ঞান, তাই এর প্রমাণমূলক পরীক্ষণ রয়েছে। ১৯৭৭ সালে কয়েকজন বিজ্ঞানী পরীক্ষা করেন যে- বস্তুর গতি বৃদ্ধির ফলে তার সময়, অপর নির্দিষ্ট প্রসঙ্গ সময়ের সাপেক্ষে কমে আসে। তারা একটি প্লেনে করে পৃথিবীর চারদিকে কয়েকপাক দিয়ে পৃথিবীতে এসে দেখেন তাদের গণনাকৃত সময়, পৃথিবীর সময় অপেক্ষা কম ! অবশ্য এটা পরীক্ষা করার জন্য সাধারণ ঘড়ি কাজে দেবে না। অবশ্যই অ্যাটমিক ক্লক ব্যবহার করতে হবে। অ্যাটমিক ক্লক সহজলভ্য হলে এবং আমরা প্রতি ঘণ্টায় ১০ কি.মি বেগে যেতে পারলে, দেখতাম সাধারণ ঘড়ির সময়ের তুলনায় আমাদের সময় 2×10-14 % কম ! সুতরাং নিঃসন্দেহে বলা যায়, সময় একটি আপেক্ষিক ব্যাপার। কিন্তু এই সূক্ষ্ম পরিমাপ, যা কল্পনা করাও অসম্ভব, তা দিয়ে আমাদের লাভ কী ? আসলে পৃথিবীতে যেকোনো দুটি বস্তুর অবস্থানের দূরত্ব আমরা আলোর বেগের সাপেক্ষে পরিমাপ করি। এক মিটার বলতে 0.000000003335640952 সেকেন্ডে আলো যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে বোঝানো হয়। সুতরাং এক মিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে আলোর একটি নির্দিষ্ট সময় লাগছে; যদিও তা একেবারেই নূন্যতম। কিন্তু আমরা যদি অধিক দূরবর্তী কোনো বিন্দু থেকে পৃথিবীতে অবস্থিত কোনো বিন্দুর দূরত্ব পরিমাপ করি, তাহলে এই পার্থক্যটি প্রকট আকারে ধরা পড়বে। যেমনঃ সৌরজগতের কেন্দ্র সূর্য থেকে পৃথিবীর নির্দিষ্ট কোনো অঞ্চলে আলো আসতে সময় লাগে প্রায় ৮ মিনিট। কথাটির অর্থ এই যে, সূর্য হতে একটি আলোক কণা (সহজ অর্থে) রওনা দিলে আমরা তা ৮ মিনিট পরে দেখতে পাই। যদি এই মুহূর্তেই সূর্য আলোক বিকিরণ বন্ধ করে দেয়, তাহলে আমরা কি তাৎক্ষণিক তা দেখতে পাব ? না-কি ৮ মিনিট পরে দেখতে পাব ? অবশ্যই আট মিনিট পরে দেখব। সুতরাং পৃথিবী থেকে সূর্যের যা কিছু আমরা দেখি, তার সবকিছুই ৮ মিনিট পরে ! সময়ের ব্যাপ্তিটা আরো বড় করে নেওয়া যেতে পারে। যেমনঃ আমাদের সূর্য থেকে মিল্কিওয়ে গ্যালাক্সির কেন্দ্রের দূরত্ব ৩০ হাজার আলোকবর্ষ। উল্লেখ্য এক আলোকবর্ষ বলতে বোঝায়, এক বছরে আলো যে দূরত্ব অতিক্রম করে। সুতরাং পূর্বের নিয়ম অনুয়াযী আমরা বলতে পারি- পৃথিবী থেকে আমরা যে মিল্কিওয়ে দেখি, তা ৩০ হাজার আলোকবর্ষ পূর্বের মিল্কিওয়ে ! এবারে একেবারে ক্ষুদ্রতে চলে যাই। ধরি, পৃথিবীতে আপনার ও আপনার বন্ধুর অবস্থানের পার্থক্য ১০ মিটার। তাহলে আপনি নিশ্চয় আপনার বন্ধুকে খুব ভালোভাবে দেখতে পাবেন। প্রশ্ন হল- কোন সময়ে দেখবেন ? আগের ধারণা থেকে নিশ্চিতভাবে বলা যায়- 3.335640952×10-08 সেকেণ্ড সময় পরে ! অর্থাৎ তার বর্তমান সময় আর আপনার বর্তমান সময়ের মধ্যে যথেষ্ট পার্থক্য রয়েছে। বিষয়টি ভাবা কষ্টকর, কিন্তু ভাবতে পারলে অত্যন্ত চমকপ্রদ লাগে ! যাহোক, তাহলে এই থেকে আমরা যে সার-বস্তুটি পেলাম, সেটা হল- কোনো বস্তুর অবস্থান শুধুমাত্র তিনটি মাত্রাকে প্রকাশ করে না। সময়ও সেখানে একটা মাত্রারূপে কাজ করে। আমাদের ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পৃথিবীতে সময়ের সেই মাত্রাটুকু হিসেবের আওতায় পড়ে না। কিন্তু আমরা যখন বিশ্বব্রহ্মণ্ডের কথা বলি, তখন অবশ্যই সময়কে একটা মাত্রা হিসেবে ধরতে হবে। ফলে আমাদের বিশ্ব হবে চতুর্মাত্রিক। যেখানে- চারটি মাত্রা বলতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা দ্বারা স্থান এবং সময় বোঝাবে। এজন্য একে স্থান-কাল বলা হয়। এই স্থান-কালে ইউক্লিডিয় কোনো প্রভাব নেই। ইউক্লিডিয় জ্যামিতির মাধ্যমে স্থান-কাল বর্ণনা করা যায় না। এজন্য এক্ষেত্রে আমাদেরকে রিম্যানীয় জ্যামিতি ব্যবহার করতে হবে। এর পিছনে একটা গুরুত্বপূর্ণ কারণ আছে। আমরা পূর্বেই জেনেছিলাম- রিম্যানীয় জ্যামিতির কাঠামোগুলো বক্র। তাহলে ধরে নেওয়া যায়- যেহেতু চতুর্মাত্রিক স্থানটিকে রিম্যানীয় জ্যামিতির সাহায্যে বর্ণনা করা হচ্ছে, তাই চতুমাত্রিক স্থানটিও বক্র। আসলেই তাই ! এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি- আমাদের মহাবিশ্ব সমতলীয় নয়। প্রশ্ন হতে পারে- দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বক্র হতে পারে; কিন্তু সময় ? সময় কিভাবে বক্র হয় ? যৌক্তিক এই প্রশ্নের জন্য আছে যৌক্তিক উত্তর। সাধারণভাবে আমরা জানি- আলো সরলপথে চলে। অর্থাৎ চলার পথে আলো কখনো দিক পরিবর্তন করে না। এই ধারণার পিছনেও রয়েছে সেই ইউক্লিডিয় জ্যামিতি ! যাহোক, এখন আমাদেরকে দেখতে হবে আলো আসলেই সরলরেখাই চলে কি-না ? এটি বলার জন্য আমি একটা ঘটনা উল্লেখ করতে চাই-

ঘটনাঃ ১৯১৫ সাল। পৃথিবীজুড়ে প্রথম বিশ্বযুদ্ধের আতংক। তবুও বিজ্ঞানীরা আবিষ্কার করে চলেছেন নানা তত্ত্ব। কিন্তু সেসব তত্ত্বের প্রমাণমূলক পরীক্ষণ করা সম্ভব ছিল না ঐ মুহূর্তে। এ কারণে একটি তত্ত্বের সত্যতা যাচাইয়ের জন্য ১৯১৯ সাল পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হয়েছিল। ১৯১৯ সালে একদল ব্রিটিশ অভিযাত্রী পশ্চিম আফ্রিকা থেকে একটি সূর্যগ্রহণ পরীক্ষা করছিলেন। তারা দেখলেন যে- চাঁদ যখন সূর্যের সম্মুখে চলে আসে, তখন সূর্যের কোনো আলোকরশ্মি পৃথিবীতে পড়ে না। কিন্তু তার নিকটবর্তী অনেক তারকাগুচ্ছের আলো স্পষ্ট দেখা যায়। পরীক্ষাটি সূর্যগ্রহণের সময় করা হয়েছিল এজন্য যে- সূর্যের তীব্র আলোতে ঐ নক্ষত্রগুলোর আলো দেখা যায় না। পর্যবেক্ষকরা বিস্মিত হয়ে খেয়াল করলেন- সূর্যের পাশ দিয়ে অন্য নক্ষত্রের আলোকরশ্মি আসার সময় তার বিচ্যুতি (deflection) ঘটছে। অর্থাৎ পথ বেঁকে যাচ্ছে। মজার বিষয় হল- যে বিজ্ঞানীর তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে এই পরীক্ষাটি করা হয়েছিল, তিনি ছিলেন একজন জার্মান অধিবাসী। একজন জার্মান বিজ্ঞানীর তত্ত্বের প্রমাণমূলক পরীক্ষা করার জন্য প্রথম বিশ্বযুদ্ধের পর ব্রিটিশদের সাথে তাদের সদ্ভাব হয়েছিল ! কিন্তু কে সেই জার্মান বিজ্ঞানী ? মহাবিজ্ঞানী আইনস্টাইন !

ব্যাখ্যাঃ পূর্বেই আমরা জেনে এসেছি যে- একস্থান থেকে অন্যস্থানে পোঁছানোর ক্ষেত্রে আমরা সোজা পথ ব্যবহার করি। আর আমাদের মহাবিশ্ব যেহেতু বক্র, তাই সোজা পথটিও বক্র হয়ে যায়। তখন আমাদের চলার পথটিকে আমরা জিওডেসিক বলি। পথটি বক্র না ভেবেও আমরা এটা ব্যাখ্যা করতে পারি। যেমনঃ মনে করুন, আপনার সামনে একটা উঁচু দেওয়াল আছে। আপনাকে দেওয়ালের ওপাশে যেতে হবে। তাহলে আপনি কী করবেন ? আপনি কি দেওয়াল ভেদ করে যেতে পারবেন ? নাকি দেওয়ালের উপরে উঠে, তারপর আপরপাশে টপকাবেন ? প্রথমটি করা দুরূহ। আর দ্বিতীয়টি সুবিধাজনক ও সহজ। তাই আমরা স্বভাবতই দ্বিতীয়টা করি। বিষয়টি লক্ষ করলে দেখা যাবে, আমাদের চলার পথে যখনই কোনো বাঁধা আসে, তখন আমরা আমাদের চলার পথ পরিবর্তন করে নিই। এই কথাটি আলোর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। আলো তার চলার পথে যখন কোনো বাঁধার সম্মুখীন হয়, তখন আলোর চলার পথ বেঁকে যায়। অর্থাৎ বক্রমহাবিশ্বের স্থান-কালে আলোকে অবশ্যই জিওডেসিক পথ অনুসরণ করতে হবে। দেওয়াল টপকানোর উদাহরণটিকে পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায় প্রকাশ করলে এরকম দাঁড়ায়- আপনার সামনে একটা বস্তু থাকার কারণে আপনি জিওডেসিক পথ অনুসরণ করেছেন। প্রশ্ন হল- বস্তু কী ? স্বাভাবিক ভাবে আমরা বলি- যার ভর আছে, তাই বস্তু। অর্থাৎ ভরশূন্য কোনো কিছু বস্তু হতে পারে না। মজার বিষয় হলো- বস্তুর ভরের সাথে বস্তুর শক্তি সম্পর্ক যুক্ত। অবশ্য এটি প্রমাণ করতে হলে আমাকে ‘থিউরি অব রিলেটিভিটির’ গোঁড়া থেকে শুরু করতে হবে; তাই পূর্বের ‘সময় পরিবর্তনের’ মত এটাও আপাতত মেনে নেওয়া যাক। আর আমরা সকলেই জানি- E=mc2 . অর্থাৎ বস্তুর মোট শক্তি= গতিশক্তি + স্থির ভর শক্তি। এটা পৃথিবীর বিখ্যাত সমীকরণগুলোর মধ্যে একটা। যাহোক, তো এ থেকেই বোঝা যায়, পর্দাথের ভরই ‘শক্তি’। অর্থাৎ ‘পদার্থ’ আর ‘শক্তি’ একই বিষয় ! কি অদ্ভুত চমৎকার বিষয়টিই না প্রমাণ করেছিলেন আইস্টাইন। তাহলে আমরা বুঝতে পারলাম, আমাদের চলার পথে যখন কোনো শক্তি থাকে, তখনই আমাদের চলার পথ বক্র হয়ে যায়। যে বিষয়টি জেনে রাখা প্রয়োজন- মহাবিশ্বের প্রতিটি স্থানেই বস্তু রয়েছে। মহাবিশ্ব কখনোই ‘বস্তুশূন্য’, মূলগত অর্থে ‘শক্তিশূন্য’ নয়। ফলে কোনো বস্তু (শক্তি) যখন মহাবিশ্বের মধ্যে দিয়ে অতিক্রম করে, তখন অন্য বস্তু (শক্তি) দ্বারা সে আকৃষ্ট হয়। আর যার ভর বেশি, তার শক্তিও বেশি। ফলে যে বস্তুর শক্তি বেশি, অপরবস্তু তার দিকে গমন করে। সুতরাং, আলো যখন কোনো নক্ষত্র থেকে রওনা দেয়, এবং চলার পথে সূর্যকে অতিক্রম করতে হয়, তখন সূর্যের বিপুল ভর, তথা শক্তি আলোর চলার পথকে বাঁকিয়ে দেয়। শুধুমাত্র সূর্য আর আলোর ক্ষেত্রে এই নিয়মটি প্রযোজ্য , তা নয়। বিশ্বব্রহ্মাণ্ডের প্রতিটি বস্তু বা শক্তির জন্যই এটি নির্ধারিত সত্য। এখন কি মাথায় আরেকটি প্রশ্ন উঁকি দিচ্ছে না, যে- ‘মহাকর্ষ’ বলটি তাহলে কী ? আর নিউটনের মাথায় কেন আপেল পড়েছিল ?! নিউটনের মহাকর্ষ তত্ত্ব মতে আমরা জানতাম, ‘মহাবিশ্বের যে কোনো দুটি বস্তুকণা পস্পরকে আকর্ষণ করে। এই আকর্ষণ বল বস্তু দুটির ভরের গুণফলের সামানুপাতিক, তাদের দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক এবং বস্তু দুটির সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর ক্রিয়াশীল।’ দুঃখের বিষয় এই যে, নিউটন কখনোই তার আবিষ্কৃত মহাকর্ষ বল কোত্থেকে-কীভাবে-কেন উৎপত্তি হল, এ নিয়ে মাথা ঘামান নিয়ে। এ বিষয়ে তাঁর মতটি ছিল এরকম, “মহাকর্ষ বল নামে কোনো বল আদৌ আছে কি-না জানি না। তবে এটুকু বলতে পারি, এই বলটার অস্তিত্ব স্বীকার করে নিয়ে হিসাব করলে আমাদের জগৎটার একটা ভালো ব্যাখ্যা দাঁড়া করানো যায়।” সুতরাং, বলা যায়- মহাকর্ষ প্রকৃতপক্ষে কোনো বল নয়। আপাত দৃষ্টিতে এটিকে ‘বল’ মনে হলেও, দুটি বস্তুর মধ্যে আকর্ষণ বা বিকর্ষণ ঘটে স্থান-কালের বক্রতার কারণে। আর শূন্যস্থানের মেনিফোল্ডের জিওডেসিকগুলো যেহেতু বক্ররেখা, তাই এটা বলার অপেক্ষা রাখে না যে- ‘মহাকর্ষ’ আর কিছুই নয়, ‘স্থান-কালের বক্রতা’ ছাড়া !

পূর্বের প্রসঙ্গে ফিরে যাই। আমাদের প্রমাণ করার দরকার ছিল- ‘আলো আসলেই সবক্ষেত্রে সরলরেখায় ভ্রমণ করতে পারে কি-না’, তা। উপরের আলোচনায় সেটা স্পষ্ট হল। তাহলে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারলাম, আমাদের জগৎটি চতুর্মাত্রিক। আর এটি পরিমাপ করার জন্য আমাদেরকে রিম্যানীয় জ্যামিতিই ব্যবহার করতে হবে। এখানেও একটা প্রশ্ন আছে- আমাদের জগতে চতুর্মাত্রার বাইরে কি আরো কোনো মাত্রা আছে ? বিজ্ঞানীরা অনুসন্ধান করেছেন এ বিষয় নিয়ে। এবং ফলাফল বলে দিচ্ছে- অবশ্যই আছে। আমাদের বাস্তব জগতে আমরা ত্রিমাত্রার বেশি কিছু দেখতে পাই না। কারণ, বাকি যে মাত্রাগুলো রয়েছে, সেগুলো খুবই ক্ষুদ্র। বিষয়টি পরিষ্কারভাবে বোঝার জন্য আমাদের একটু ‘পরমাণু’ নিয়ে কথা বলতে হবে। আমরা জানি এই মহাবিশ্বব্রহ্মাণ্ড অসংখ্য পরমাণুর সমন্বয়ে গঠিত। আর পরমাণু গঠিত ইলেকট্রন, প্রোটন ও নিউট্রনের সমন্বয়ে। কিন্তু আসলেই কি তাই ? পরমাণুকে বিশ্লেষণ করলে কি এই তিনটি অংশ ছাড়া আর কিছু থাকবে না ? এবং এরা কি অবিভাজ্য ? বিজ্ঞানীদের সূক্ষ্ম পর্যবেক্ষণ আমাদের বলে দেয়- পরমাণুর নিউক্লিয়াসে অবস্থিত প্রোটন আর নিউট্রনকে বিশ্লেষণ করা যায়। এবং এ দুটো আরো ক্ষুদ্র কণা ‘কোয়ার্ক’ এর সমন্বয়ে গঠিত। সুতরাং ইলেকট্রন এবং কোয়ার্ককে পদার্থের প্রাথমিক কণিকা বলা যায়। আসলে কোয়ার্ক হল একটা বিন্দু, যা দেখতে অনেকটা সুতার মত। উল্লেখ্য যে- এটা কিন্তু এখনো দেখা সম্ভব হয় নি ! কিন্তু যদি দেখা যেত, তাহলে আমরা সুতার মতো বিন্দুকেই আবিষ্কার করতাম। যেহেতু সর্বশেষে আমরা ‘সুতা’ পেলাম, তাই এর নাম ‘স্ট্রিং’। আর এই থিওরির নাম ‘স্ট্রিং থিওরি’ ! এখন, বহুমাত্রিক জগতের সাথে এর সম্পর্ক কী ? বিজ্ঞানীরা গবেষণা করে দেখেছেন যে- এই স্ট্রিংগুলো বিভিন্ন মোডে কম্পিত হয়ে বিভিন্ন সুর তৈরি করে। সংগীত বা শব্দ (sound) বিষয়ে যাদের পড়ালেখা আছে, তারা জানে- একটা সরু তারকে বিভিন্নভাবে কম্পিত করে নতুন নতুন সুর সৃষ্টি করা সম্ভব। তেমনি একটা স্ট্রিং বিভিন্ন মোডে কম্পিত হয়ে বিভিন্ন কণা তৈরি করতে পারে। যে কণাগুলো দিয়েই তৈরি হয়ে যায়- ‘ইলেকট্রন-প্রোটন-নিউট্রন’ এবং পরমাণুর অভ্যন্তরে অবস্থিত অন্যান্য স্থায়ী-অস্থায়ী কণিকাগুলো। স্ট্রিং তত্ত্ব অনুসারে ‘স্ট্রিং’ এর কম্পনের ফলে তৈরি হয় বিভিন্ন মাত্রা। তবে প্রধান চারটি মাত্রা বাদে অন্যগুলো এতো ক্ষুদ্র- যে আমাদের নজরেই আসে না। যেমনঃ দূর থেকে আমাদের দেশের কোনো সবুজ মাঠ দেখলে মনে হয় সবুজের গালিচা পাড়া এবং সবটুকুই সমতল-মসৃণ। কিন্তু কাছ থেকে দেখলে কি সেরকমটাই মনে হবে ? অবশ্যই না। তেমনি ক্ষুদ্র মাত্রায় দেখলে বস্তু জগৎ বহুমাত্রিক। আর এই ‘ক্ষুদ্র মাত্রা’ গুলোকে দেখার ব্যাপারটি কল্পনাও করা যায় না। যদি বলি- এই পৃষ্ঠাটা আপনাকে ১০০ আলোকবর্ষ দূরে রেখে পড়তে হবে, আপনি কি পারবেন ?! অবশ্য পদার্থবিজ্ঞান যে দ্রুত গতিতে অগ্রসরমান হচ্ছে, তাতে অদূর ভবিষ্যতে আমরা স্ট্রিংকে দেখার স্বপ্ন অবশ্যই দেখতে পারি। কিন্তু প্রশ্ন হল- কীজন্য এই অসংখ্য মাত্রা এত কুঞ্চিত অবস্থায় আছে ? উত্তর হল- যদি চারটির বেশি মাত্রা থাকত, তাহলে অনেক সমস্যা ছিল ! যেমনঃ

দুটি বস্তুর মধ্যে যে মহাকর্ষীয় আকর্ষণ বল, তা নির্ভর করে বস্তু দুটির দূরত্বের উপরে। দূরত্ব দ্বিগুন করা হলে ত্রিমাত্রিক স্থানে মহাকর্ষীয় বল হ্রাস পেয়ে এক-চতুর্থাংশে (১/৪) পরিণত হয়। চারমাত্রিকে হয় এক-অষ্টমাংশ (১/৮), পাঁচ মাত্রিকে এক-পঞ্চমাংশ (১/৫); এভাবে মাত্রা বৃদ্ধির সাথে সাথে মহাকর্ষীয় বলের হ্রাস ঘটতে থাকে। এর অর্থ কি কেউ কল্পনা করতে পারছেন ? এক সুষম মহাকর্ষীয় আকর্ষণের ফলে আমাদের সৌরজগৎ ও সূর্যটি নির্দিষ্ট কক্ষপথে অবস্থান করছে। কিন্তু মহাকর্ষীয় আকর্ষনের মান-এ হেরফের হলে এই বৃত্তাকার কক্ষপথ থেকে গ্রহগুলো হয় ছিটকে বাইরে চলে যাবে, অথবা সূর্যের দিকে ধাবিত হবে ! এখানে শেষ নয়। চাপ এবং মহাকর্ষের ভারসাম্য বিনষ্ট হয়ে সূর্যের অবস্থানের পরিবর্তন ঘটবে। হয় সূর্যটি কাঁচের গ্লাসের মতো টুকরো টুকরো হয়ে যাবে ! নয়ত ফুঁটো বেলুনের মত চুপ্‌সে গিয়ে একটি কৃষ্ণগহ্বরে (blackhole) এ পরিণত হবে ! যাইহোক, সবশেষ আরেকটি চমকপ্রদ খবর দিতে চাই। তা হল- বর্তমানে বিজ্ঞানীরা দশ, এগারো এবং ছাব্বিশ মাত্রার জগৎ আবিষ্কার করেছেন। এতকিছুর পর যদি বলা হয়- ‘সুতরাং তাই, এখানে ইউক্লিডিয় জ্যামিতি প্রয়োগ করলে চলবে না’ ! তাহলে এটা পাগলামো ছাড়া আর কিছু হবে না ! কিন্তু এই পাগলামির মধ্যেই একটা সূক্ষ্ম ইঙ্গিত আছে। সেটা হল- ইউক্লিড যদি তাঁর ‘এলিমেন্টস’ না লিখতেন, তাহলে কি এর একটা কিছুও সম্ভব হতো ? যদি হতো-ও, তাহলে হয়ত তা আমরা আরো পরে পেতাম।

আর সর্বপ্রথমে বলা হয়েছিল- ‘একীভূততত্ত্ব’ এর কথা। বর্তমানে আমরা এই তত্ত্ব নিয়ে খুব উদ্গ্রীব !