উৎসর্গ: নৃপেন্দ্র সরকার

কষ্টকাল্পনিক ২
কষ্টকাল্পনিক ১

আগের পর্বে “সংখ্যা ব্যবস্থা”-র যে সংজ্ঞা ও উদাহরণ দিয়েছিলাম, হয়ত মনে আছে। এবার সরাসরি কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবস্থা নিয়ে আলোচনা শুরু করব। ফিরে যাওয়া যাক গণি ও অগ্নি-র কাছে।

গণি: ইয়ে…
অগ্নি: প্লিজ, না।
গণি: কি ব্যাপার? আমি তো কিছু বলি-ই নি এখনও!
অগ্নি: বলার দরকার নেই, তোর ভাব দেখেই বুঝতে পারছি আবার একটা সংখ্যা ব্যবস্থা আবিষ্কার করেছিস। আমি এর মধ্যে নেই….
গণি: কিন্তু এটা আগেরটার মত নয়। শুনেই দেখ। এই সংখ্যা ব্যবস্থাটা এরকম: একটা দ্বিমাত্রিক তলের প্রতিটা বিন্দু হল এক একটি সংখ্যা।
অগ্নি: দ্বিমাত্রিক তল?
গণি: হ্যাঁ, মানে যেমন একটা কাগজের একটা পাতা। সেটা একটা দ্বিমাত্রিক তলের অংশ। চারিদিকে অসীম পর্যন্ত ছড়ানো যদি একটা পাতা থাকত, সেটাই হত দ্বিমাত্রিক তল।
অগ্নি: আচ্ছা আচ্ছা। দ্বিমাত্রিক তল বুঝতে পেরেছি। X-অক্ষ আর Y-অক্ষ।
গণি: বাহ্, তাহলে তো খুবই ভাল। তুই কার্টেসিয়ান অক্ষ ব্যবস্থার কথা বলছিস। X-অক্ষ আর Y-অক্ষের সাহায্যে তলের যেকোন বিন্দুকে দেখানো যায়। যেমন এই ছবিটাতে।
1
যেমন, লাল বিন্দুটা ডানদিকে ১ ঘর আর উপর দিকে ২ ঘর গিয়ে পৌঁছনো যায়, কাজেই একে কার্টেসিয়ান অক্ষ ব্যবস্থায় (১, ২) দিয়ে প্রকাশ করা যায়। তেমনি আরো কয়েকটা বিন্দু এবং তার কার্টেসিয়ান রূপ ছবিতে দেয়া আছে।
অগ্নি: হ্যাঁ, এটা মনে আছে। তবে…একটা কথা। কার্টেসিয়ান অক্ষ ব্যবস্থায় এরকম একটা বিন্দুকে প্রকাশ করতে দুটি সংখ্যা লাগে। কিন্তু তুই বলছিস এই বিন্দু গুলোকে নিয়ে তুই একটা “সংখ্যা ব্যবস্থা” তৈরি করবি। অর্থাৎ প্রতিটা বিন্দু প্রকাশিত হবে একটা সংখ্যা দিয়ে। কেমন যেন না?
গণি: কার্টেসিয়ান ব্যবস্থায় দুই সংখ্যা ব্যবহৃত হয় বলে আমারো তা করতে হবে এমন কোন ব্যাপার নেই। আগেই বলেছি কিন্তু, “সংখ্যা” জিনিসটা বিমূর্ত। সাধারণ অর্থে ভাবলে চলবে না। আমি সংখ্যা ব্যবস্থার নিয়ম গুলি মেনে চললেই হল। এসব কথা রেখে আমার ব্যবস্থাটা সরাসরি বর্ণনা করলে বরং বুঝতে সুবিধা হবে।
অগ্নি: ওক্কে।
গণি: শুরু করব X-অক্ষ আর Y-অক্ষ দিয়েই। প্রথমে X-অক্ষ বরাবর সব বিন্দু গুলিকে “সংখ্যা” হিসেবে প্রকাশ করব। X-অক্ষ আর Y-অক্ষের ছেদ বিন্দুকে বলব ০। এখান থেকে ডান দিকের সংখ্যা গুলি সব ধনাত্মক পূর্ণ মান, আর বাম দিকের সংখ্যা গুলি সব ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। ছবি দেখ।

2
অগ্নি: মানে! এতো স্রেফ সাধারণ সংখ্যা ব্যবস্থা। সাধারণ ধনাত্মক-ঋণাত্মক সব সংখ্যা তুই X-অক্ষ বরাবর বসিয়ে দিচ্ছিস!
গণি: ঠিক তাই। এই তো বুঝতে পেরেছিস।
অগ্নি: কিন্তু বাকি বিন্দু গুলি?
গণি: ধীরে বন্ধু, ধীরে। এবার Y-অক্ষ ধরব। Y-অক্ষের একটা বিন্দু কিন্তু এর মধ্যেই সংজ্ঞায়িত করেছি। সেটা হল মাঝখানের বিন্দুটা, যাকে ০ নাম দিয়েছি। বাকি আছে এই বিন্দুর উপর ও নিচের অংশ। উপরে দিকে একটা বিন্দুর নাম দিলাম…ঞ।
অগ্নি: ঞঁ!
গণি: ঞঁ! নয়, ঞ। কোন বিপ্লব রহমানীয় অপশব্দ এখানে আনার দরকার নেই। X-অক্ষে ১ কে যতদূরে বসানো হয়েছে, Y-অক্ষে ঞ কে বসানো হয়েছে ঠিক ততটা দূরেই। অন্য কথায়, ০ থেকে ১ এর যে দূরত্ব, ০ থেকে ঞ-র ঠিক সেই দূরত্ব।
অগ্নি: ঠিক আছে।
গণি: এখন Y-অক্ষের বাকি বিন্দুগুলির সংখ্যারূপ বেশ সোজা। ০ থেকে উপরের দিকের বিন্দুগুলি গুলি ঞ-র তুলনায় কতটা বড় বা ছোট সে অনুযায়ী ২ঞ, ৮.৫ঞ, ০.০২২ঞ ইত্যাদি সংখ্যা দিয়ে প্রকাশিত হবে। আর ০ থেকে নিচের বিন্দুগুলি ঠিক উপরের বিন্দুগুলির মতই, শুধু সামনে একটা – বসবে। অর্থাৎ -ঞ, , -২ঞ, -৮.৫ঞ, -০.০২২ঞ ইত্যাদি।
8
অগ্নি: অ। এত কিছুই না। X-অক্ষের মতই অনেকটা। স্রেফ সাধারণ সংখ্যাগুলিকে নীচ থেকে উপর পর্যন্ত লাইন বন্দী করে সাজিয়ে দিয়েছিস, আর একটা ঞ জুড়ে দিয়েছিস প্রত্যেকটার সঙ্গে।
গণি: “জুড়ে দেয়া” ঠিক গাণিতিক ভাষা নয়, তবে কথা ভুল বলিসনি।
অগ্নি: কিন্তু এতো কেবল পুরো কাগজের পৃষ্ঠার মধ্যে দুটো লাইন। বাকি পুরো পৃষ্ঠা জুড়ে বিন্দুগুলির কি হবে?
গণি: সেটা বলার জন্য আগে এই সংখ্যা ব্যবস্থায় “যোগ” বলতে কি বোঝানো হচ্ছে তা সংজ্ঞায়িত করতে হবে। চার ধাপে সেটা করছি:
১) X-অক্ষের দুটি সংখ্যা যোগ করা ঠিক সাধারণ সংখ্যা যোগ করবার মত: অর্থাৎ
২+৫ = ৭
১০+(-৮) = ২
(-২)+(-৪.৫) = -৬.৫
ইত্যাদি।
২) Y-অক্ষের দুটি সংখ্যা যোগ করাও সাধারণ সংখ্যা যোগ করবার মতই: অর্থাৎ
২ঞ+৫ঞ = ৭ঞ
১০ঞ+(-৮)ঞ = ২ঞ
(-২ঞ)+(-৪.৫ঞ) = -৬.৫ঞ
ইত্যাদি।
৩) X-অক্ষের সংখ্যার সাথে Y-অক্ষের সংখ্যা যোগ করা: এটাই একটু অন্যরকম। উদাহরণ দিয়ে দেখানোই সবচেয়ে সোজা। ধরা যাক, ২ আর ২ঞ যোগ করা হচ্ছে। ২+২ঞ সংখ্যাটি X-অক্ষ বা Y-অক্ষের ওপর থাকবেনা, থাকবে X-অক্ষ বরারব ২ঘর ডানে ও Y-অক্ষ বরাবর ২ঘর উপরে। অন্য ভাবে বলা যায়, কার্টেসিয়ান ব্যবস্থায় যে বিন্দুটিকে (২,২) দিয়ে সূচিত করা হত, সেটিকেই আমরা প্রকাশ করব ২+২ঞ দিয়ে। একই ভাবে -১.৫+৮ঞ হচ্ছে কার্টেসিয়ান ব্যবস্থায় (-১.৫, ৮) দিয়ে যে বিন্দুটি প্রকাশ পায় সেটি। ছবিতে একটা উদাহরণ আছে:
3
৪) দুটি মিশ্রিত সংখ্যা যোগ করলে কি হবে সেটা আগের তিনটি আইন থেকেই অনুমান করা চলে। ঞ ছাড়া অংশ আর ঞ ওয়ালা অংশ আলাদা আলাদা যোগ হবে। যেমন:
৩ + (৮ + ঞ) = ১১ + ঞ
-৪.৫ + (২ – ৩ঞ) = -২্৫ – ৩ঞ
১ – ঞ + (-১ + ঞ) = ০
১০ – ২.৩ঞ + (-১ + ঞ) = ৯ – ১.৩ঞ

অগ্নি: হুঁ, বুঝলাম। কিন্তু একটা কথা বলতে বাধ্য হচ্ছি। মনে হচ্ছে, কার্টেসিয়ান ব্যবস্থাটাকেই তুই ঘুরিয়ে পেঁচিয়ে ঞ-টিঞ দিয়ে দেখাচ্ছিস।
গণি: দাঁড়াও পথিকবর, জন্ম যদি তব বঙ্গে! তিষ্ঠ ক্ষণকা…
অগ্নি: থাম।
গণি: উম, কথাটা একেবারে ভুল বলিসনি। নতুন ব্যাপারটা আসবে এখুনি। তবে নতুন কিছু না থাকলেও সমস্যা নেই। একই জিনিসকে নানান ভাবে দেখা গণিতবিদদের সাধারণ প্রবণতা। একেক ভাবে দেখলে একেক জিনিস চোখে পড়ে, “মৌলিক” কোন প্রভেদ না থাকলেও।
অগ্নি: নতুন ব্যাপারটা বল।
গণি: গুণ! সংখ্যা ব্যবস্থাটাকে সম্পূর্ণ করতে হলে যেকোন দুটি “সংখ্যা” কে “গুণ” করতে পারতে হবে। প্রথমত, X-অক্ষের সংখ্যা দিয়ে গুণ। উদাহরণ দিই, তাহলেই বুঝবি:
২ $latex \times$ ২ = ৪
-২ $latex \times$ ২.৫ঞ = -৫ঞ
৪ $latex \times$ (-৭ + ৫ঞ) = -২৮ + ২০ঞ

এই গুণের ব্যাপারটা “জ্যামিতিক” ভাবেও দেখা যেতে পারে। ছবি আগে ব্যাখ্যা পরে।
4

যা দেখছি ছবিতে সেটা এরকম। যেকোন বিন্দু “ক” নেয়া যাক। এই বিন্দুকে প্রতিনিধিত্ব কারী সংখ্যাকে যদি ২ দিয়ে গুণ করা হয়, তবে যে বিন্দুটি পাওয়া যাবে সেটার নাম দেয়া যাক “খ”। তাহলে “ক” আর “খ” এর জ্যামিতিক সম্পর্ক এরকম: ০ আর ক কে সংযোগ কারী রেখাটাকে যদি তুই টেনে দ্বিগুণ লম্বা করিস, তাহলে তার মাথাটা যেখানে পৌঁছাবে সেটাই হল “খ”। অন্যান্য সংখ্যা দিয়ে গুণ করার ব্যাপারটাও একই ভাবে টেনে লম্বা করা বা খাট করার দিয়ে ব্যাখ্যা করা যায়।

অগ্নি: উঁ। এই গুণ করার ব্যাপারটা কার্টেসিয়ান ব্যবস্থায় নেই ঠিক। কিন্তু তাও খুব একটা বিস্মিত হতে পারছি না। তুই যা বলছিস সেটা এরকম, একটা সংখ্যাকে ৬ বা -৯ দিয়ে গুণ করা মানে হচ্ছে ওই সংখ্যার ঞ-ওয়ালা আর ঞ-ছাড়া অংশ গুলিকে আলাদা আলাদা ভাবে ৬ বা -৯ দিয়ে গুণ করা। ঠিক কিনা!
গণি: ঠিক। কিন্তু এখনও Y-অক্ষের সংখ্যা দিয়ে গুণ করাটা বাকি আছে। সেটাও জ্যামিতিক ভাবে আগে দেখাবো। প্রথমে বুঝতে হবে ঞ দিয়ে গুণ করলে কি হয়। সেটা বুঝলে Y-অক্ষের বাকি সংখ্যা গুলি দিয়ে গুণ করলে কি হয় সেটা সহজেই বোঝা যাবে।
নিয়ম টা এরকম:
কোন সংখ্যাকে ঞ দিয়ে গুণ করলে যে সংখ্যাটা পাওয়া যাবে সেটা এরকম: সংখ্যাটা যে বিন্দুর প্রতিনিধিত্ব করে সেটার সাথে ০-র সংযোগকারী রেখাটা নেব। এবার এই রেখাটাকে counter clock wise ৯০ ডিগ্রি ঘুরিয়ে দিলে রেখাটার মাথা যেখানে পৌঁছাবে সেটাই হল মূল সংখ্যার সাথে ঞ-র গুণফল। নিচের ছবি দুটোয় উদাহরণ দেখা যেতে পারে।
5
দুটো ছবিতেই ব্যাপারটা এরকম: যে সংখ্যাটাকে ঞ দিয়ে গুণ করা হবে তাকে দেখানো হয়েছে একটা নীল বিন্দু দিয়ে, এবং ওই বিন্দুর সাথে ০-এর সংযোগ রেখাটাকে নীল একটা তীর দিয়ে দেখানো হয়েছে। নীল সংখ্যাটাকে ঞ দিয়ে গুণ করার পরে যে সংখ্যাটা পাওয়া গেল সেটা লাল তীর এবং লাল বিন্দু দিয়ে দেখানো হয়েছে।
অগ্নি: এটা কিভাবে সম্ভব? কোন সংখ্যাকে আরেকটা সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে সেটা এভাবে “ঘুরে” যায় কিভাবে?
গণি: গদাম! সংখ্যা ব্যবস্থায় গুণের সংজ্ঞায় কি বলছে? “যেকোন দুটি সংখ্যাকে গুণ করলে আরেকটা সংখ্যা পাওয়া যাবে।” ছবির নীল সংখ্যাগুলিকে ঞ দিয়ে গুণ করলে যেটা পাচ্ছি, লাল তীর/বিন্দু দিয়ে যেটা দেখানো হচ্ছে, সেটাও একটা সংখ্যা। কাজেই মিলে যাচ্ছে।
অগ্নি: হম। বুঝলাম মনে হয়।
গণি: তাই? পরীক্ষা নেয়া যাক। ঞ × ১ কত?
অগ্নি: সাধারণ কাণ্ডজ্ঞানে তো মনে হয় ঞ হওয়া উচিত, কারণ যেকোন সংখ্যার সাথে ১ গুণ করলে সংখ্যাটা অপরিবর্তিত থাকে। তোর সংজ্ঞা অনুযায়ী অবশ্য…১ কে আমার ৯০ ডিগ্রি কাউন্টার-ক্লকওয়াইজ ঘোরাতে হবে…সেটা করে পাচ্ছি…ও, সেই ঞ-ই তো পাচ্ছি। এই ছবির মত:
6
গণি: লা-জওয়াব! এখন বল, ঞ × ঞ কত?
অগ্নি: পারা যাবে এসব এখন, ধরে ফেলেছি ব্যাপারটা। ঞ হচ্ছে Y-অক্ষ বরাবর ১ দৈর্ঘের একটা দাগ, সেটাকে ৯০ ডিগ্রি ঘুরালে সেটা ঘুরে গিয়ে X-অক্ষ বরারব পড়ছে…ও, -১। উত্তর -১। এই যে ছবি:
7
গণি: ঞ × ঞ = -১?
অগ্নি: হ্যাঁ।
গণি: অর্থাৎ?
অগ্নি: কি অর্থাৎ? ঞ × ঞ = -১, এর আবার…ও…মানে ঞ২ = -১। অর্থাৎ, -১-র বর্গমূল ঞ? ঞ-ই কি সেই রহস্যময় “কাল্পনিক” সংখ্যা? ঞ-ই $latex i$?
গণি: “ঞ-ই আঁই” — এটা কি চট্টগ্রামের কোন প্রবাদ বাক্য?…(অগ্নির অগ্নিমূর্তি অবলোকনে) হ্যাঁ, এই সেই $latex i = \sqrt{-1}$।
অগ্নি: তার মানে -১ এর বর্গমূল আসলে আছে?
গণি: এই সংখ্যা ব্যবস্থায়, হ্যাঁ আছে।
অগ্নি: “এই সংখ্যা ব্যবস্থায়”? আসলে কি তাহলে নেই?
গণি: অর্থহীন মন্তব্য। যেকোন গাণিতিক ধারণা একটা সংখ্যা ব্যবস্থার প্রেক্ষিতেই হয়। বর্গমূল একটা গাণিতিক ধারণা। এবং আমার সংজ্ঞায়িত সংখ্যা ব্যবস্থায় -১ এর বর্গমূলের অস্তিত্ব আছে। কথা শেষ।
অগ্নি: গণিতবিদরা যে $latex i$ ব্যবহার করেন, সেটা কি একই জিনিস?
গণি: হ্যাঁ, গণিতবিদরা প্রায় হুবুহু এই একই সংখ্যা ব্যবস্থা ব্যবহার করেন। এবং যখন বলেন -১ এর বর্গমূলের কথা, তখন এই অর্থেই বলেন।

যেসব পাঠক এখনও টিকে আছেন, কাল্পনিক সংখ্যার রহস্য তাঁদের কাছে কিছুটা পরিষ্কার হয়েছে এই আশা রাখি। গাণিতিক ভাবে কাল্পনিক সংখ্যার সংজ্ঞা পরিষ্কার হলেও এর প্রায়োগিক উপযোগিতা সম্বন্ধে এখনও কিছু বলা হয়নি। সেটিই হবে শেষ পর্বের উপাদান।

চলবে….