শিক্ষা বিষয়ক তুলনামূলক আলোচনা (গণিত)- পর্ব ৩

কানাডা ও বাংলাদেশের তুলনামূলক বিজ্ঞান শিক্ষার উপরে Rawshan Ara, আর আমি একটা নাতিদীর্ঘ্য লেখা দিয়েছিলাম। এবার আমি কানাডার ম্যাথ বা গনিত শিক্ষার উপায় ও বিষয়-বস্তু নিয়ে কিছু আলোকপাত করবো, হয়তো কারও উপকারে আসলেও আসতে পারে। কারন কানাডায় আমি ১২ গ্রেডে ঝরে যাওয়া ছাত্রদের গনিত শিক্ষা নিয়ে কিঞ্চিত কাজ করি। একটা স্মৃতিচারন দিয়ে শুরুটা করি। ১৯৭৭ সালের কথা, আমি তখন খুলনা সেন্ট যোসেফ’স স্কুলের নবম শ্রেণীর ছাত্র। ইলেক্টিভ ম্যাথের ক্লাসে ঢুকলেন স্বল্পভাষী চৌকষ শিক্ষক সমর ফৌজদার ট্রিগোনমেট্রি শেখাবার জন্যে। ক্লাশে ঢুকেই তিনি চক হাতে করে বোর্ডের দিকে চলে গেলেন এবং পাঁচ-দশ মিনিটের ভিতরে লিখে শেষ করলেন ছয়টা Trigonometric Ratios এবং তিনটা Trigonometric Identities এর মোট নয়টা ফর্মুলা। এরপর তিনি অনুশীলনি একের থেকে কয়েকটা অংক করে দিয়ে আমাদের করতে দিলেন কয়েকটা, হোমওয়ার্কও দিনেল কয়েকটা। এইভাবে কয়েক দিনের ভেতরে আমরা কয়েকজন ত্রিকোনমিতির জাহাজ হয়ে গেলাম। কিন্তু আমরা কি শিখলাম? ঐখানে ঐ ক্লাশে আমরা Sine/ Cosine function-এর কোনই ত্বাত্তিক শিক্ষা পেলাম না। সাইন ফাংশান কেন Odd function,কোসাইন ফাংশান কেন Even function, Circular function হিসাবে তাদের Cartesian Coordinate –এ স্থাপন করলে তাদের প্রপাগেশন বা চেহারা কেমন হয়, কোন অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে এদের গ্রাফে প্লট করলে তারা কখন শুধু Relation হয় বা function হবার যোগ্যতা হারায়, দ্বিমাতৃক গ্রাফে আনুক্রমিক কৌনিক দূরত্ব পরপর Sine, Cosine, Tangent, Cotangent, Secant, Cosecant- এর লুকাস বা চলাচল কেমন হবে, এবং পরিশেষে এইসব ত্রিকোনমিতির ফাংশন গুলোর infinite series এর চেহারা গুলো কেমন হবে সেসব কিছু শেখার থেকে আমরা বঞ্চিত হয়েছি বাংলাদেশে। কিন্তু কানাডা বিশেষ করে ওন্টারীও কারিকুলাম যদি আপনি দেখেন তাহলে বুঝতে পারবেন, গ্রেড নাইন থেকে টুয়েলভ পর্যন্ত এইসব বিষয়বস্তু ক্রমান্বয়ে শিক্ষার্থিদের শেখানো হয়। এখানে উল্লেখ করা প্রয়োজন অনুশীলনী বা এক্সারসাইজে ৮০% অংক এপ্লাইড এবং তার প্রাক্টিস এক্সাম্পেলে করে দেয়া হয়ে থাকে বিভিন্ন উদাহরনের মাধ্যমে। কাজেই উদাহরনগুলো ভালভাবে বুঝতে পারলে এক্সারসাইজে সমস্যা হবার কথা নয়। তবে এক্সারসাইজ সমাধানের জন্যে যেসব ফর্মুলা দরকার তাদের সবগুলোর Derivation অবশ্যই ছাত্রদের ক্লাশে শেখান হবে নাড়ি-নক্ষত্র উল্লেখ পূর্বক। এইভাবেই কারিকুলামটা সাজানো হয়েছে সে ব্যপারে আমি পরে আসছি। এখানে আমি শুধু গনিতের একটা শাখা ত্রিকোনমিতির শিক্ষা পদ্ধতি নিয়ে আলাপ করছি, যার আলোকে বুঝা যাবে গনিতের অপরাপর শাখায় কিভাবে শেখান হয়।এবার আমি ত্রিকোনমিতির সুনির্দিষ্টভাবে একটা ব্যবহারিক বা এপ্লাইড প্রব্লেম নিয়ে আলোকপাত করবো। এটা বাংলায় লেখা আমার জন্যে বেশ অসুবিধাজনক বিধায় যথারীতি ইংরেজীতে লিখলাম। Real life example-এ এটা একটা Ferris Wheel-এর অংক বা সমস্যা।

EX# A Ferris wheel has a diameter of 20 m, and its axle is located 15 m above the ground.Once the riders are loaded, the Ferris wheel accelerates to a steady speed and rotates 10 times in 4 min. The height, h meters, of a rider above the ground during the ride of this Ferris wheel can be modeled by a sinusoidal function of the form h(t)= a sin (k(t-d)) + c, where t is the time in seconds.
The height of a rider begins to be tracked when the rider is level with the Ferris wheel on the first rotation.
?- What does the graph of the rider’s height versus time, for three complete revolutions,look like? What equation can be used to describe this graph?
A. Determine the maximum and minimum heights of a rider above the ground during the ride?
B. How many seconds does complete revolution take? What part of the graph represents this?
C. On graph paper, sketch a graph of the rider’s height above the ground versus time for three revolutions of the Ferris wheel.
D. What type of curve does your graph resemble?
E. Is this function a periodic function?
F. What is the amplitude of this function?
G. What is the period of this function?
H. What is the equation of the axis of function?
I. Assign appropriate values each parameter in h(t) for this situation.
J. Write the equation of a sine function that describes a graph you sketched in part C.

অনেক ধন্যবাদ এত সময়ধরে এই ব্যবহারিক সমস্যাটা নিয়ে মেতে থাকার জন্যে। এইটা হলো একটা সাইন ফাংশনের জেনারালাইজড ফর্মুলা। এর প্যারামিটারগুলোর একটু পরিচয় দেয়া দরকার, তাতে অনেকের সুবিধে হবে। আগেই বলে রাখছি আমি কিন্তু শিখাচ্ছি না, কারিকুলামের উদ্দেশ্য সম্পর্কে বলতে গিয়ে এত কথা বলা। অনেকেই জানেন এসব, যারা ভুলে গেছেন তাদের উপকারে আসবে।
H(t)= a sin(k(t-d)) + c, a = vertical stress, k= horizontal compression, d= horizontal translation, c= vertical translation.
উপরের উদাহরনটায় অনেকগুলো প্রশ্ন করা হয়েছে, যার অনেকগুলো এনালাইটিক, যার মাধ্যমে ছাত্রদের এই বিষয়ের উপরে সৃজনশীল ধারনা তৈরী হবে। গনিতের কারিকুলামের ট্রিগোনোমেট্রিক বিভাগে সেইভাবেই overall expectation টা ধরা হয়েছে। যে সব টেক্সট বইতে এইসব Expectation এর প্রতিফলন ঘটেছে শিক্ষক সেইসব বই নির্বাচন করবেন ক্লাশে পড়াবার জন্যে। এক্ষেত্রে শিক্ষক কোন অবস্থাতেই মাত্র একটা বই সিলেক্ট করেন না। তাতে করে গনিতের থিওরি বা এক্সারসাইজের ক্ষেত্রে এক রকম প্রকাশ ভঙ্গি গড়ে উঠতে পারে ছাত্রদের মধ্যে। এক্ষেত্রে একটা কথা সব সময় মনে রাখা উচিত- Math is the language of science. তাই আপনি যদি রেয়াল লাইফ বা বিজ্ঞানের কোন উদাহরনের মাধ্যমে গনিতের থিওরিটাকে অন্ততঃ ছাত্রদের সামনে তুলে ধরতে না পারেন তাহলে তারা গনিতকে মুখস্ত করতে শুরু করবে বেশী মার্কের আশায়।কন্সেপশন গড়ে উটবে না। ম্যথের কারিকুলামের প্রতেকটা Specific expectation- এ এই রকম একটা ইচ্ছার প্রতিফলন ঘটেছে। তবে এখানে কথা আছে- সব ম্যাথের থিওরির এপ্লিকেশন হয় না, তাদের নান্দনীক শ্রেণীতে ফেলানো যায়। এসব ক্ষেত্রে যেসব ফর্মুলা ব্যবহার করে তাদের এক্সারসাইজ করা হয় সেইসব Formula derivation অবশ্যই অবশ্যই ছাত্রদের করানো বাধ্যতা মূলক, এটাওওন্টারিও ম্যাথ কারিকুলামের specific expectation এপ্রতিফলিত হয়েছে।
এবার শেষ করবো আমার বাংলাদেশে 12 class Differential Calculus শেখারএকটা স্মৃতিচারন দিয়ে। খুলনা বি এল কলেজের শ্রেনীকক্ষে এসে ঢুকলেন হারুনর রশীদ সাহেব ক্যালকুলাস শেখাবার জন্যে। প্রথম দিন। তিনি বোর্ডের দিকে গেলেন চক নিয়ে।লিখলেন- dy/dx এটা একটা ওপারেটর। সংজ্ঞা দিলেন মুখে মুখে- The rate of change of x with respect to y. তারপরে বোর্ডে লিখলেন আরো একটা সংজ্ঞা সংকেতের মাধ্যমে-
Dy/dx = {f(x-h) – f(x)}/h
Lt h tends to 0

এরপর থেকে তিনি অনুশিলনী থেকে অংক কশতে শুরু করলেন। এইভাবে কয়েদিনের মধ্যে আমরা একেক জন হয়ে উঠলাম ক্যাল্কুলাসের জাহাজ। ঐখানে ঐ ক্লাশে আমরা যা যা শেখা থেকে বঞ্চিত হলাম তা হলো Conceptual graphical definition of Derivative. সেটার এখানে উল্লেখ করলাম, যারা ভুলে গেছেন তাদের কাজে লাগবে।

Let us take a generalized function,

Y = f(x), we consider a small increment in independent variable ∆x then we find a corresponding increment in the dependent variable as ∆y
Y + ∆y = f (x+ ∆x)
∆Y = f (x + ∆x)– y
∆y = f (x +∆x) – f(x)
∆y/∆x = {f (x+ ∆x) – f(x)}/ ∆x

Let represent the above expression in limit notation, where increment
∆x can be presented by h, where h is very small change tends to zero. So the expression can be written as:
dy/dx = {f (x + h) – f(x)}/h
Lt h tends to 0
আর এই ডেরিভেটিভের গ্রাফিকাল প্রকাশ অনেকটা এমনঃ

সময়ের অভাবে ডেরিভেটিভের গ্রাফটা দেয়া গেল না। অন্যত্র দেখে নিলে ভাল হয়।
ডেরিভেটিভ শেখানোর নির্দেশনা ১২ গ্রেডের কারিকলামে এভাবেই দেয়া আছে, এবং তার এক্সপেক্টেশনটা আছে যাতে বলা আছে ছাত্রদের যেন ডেরিভেটিভের এনালিটিকাল বা গ্রাফিকাল ডেফিনেশনের ধারনাটা মাথায় দেয়া হয়। এখানে আপনারা এখন বাংলাদেশের ম্যাথ শিক্ষা পদ্ধতি এবং কারিকুলাম সম্পর্কে কানাডার তুলনা মূলক আলোচনা করতে পারেন। যে কোন অবস্থায় সংলাপের দরজা খোলা থাকলো।

এবার আমি আলোচনা করবো একটা আদর্শ কারিকুলাম বা সিলেবাস বলতে আমরা কি বুঝি। কারিকুলামে মূলত তিনটা দিকনির্দেশনা থাকতে হবে- বিষয় বস্তু, মূল গন্তব্য বা উদ্দেশ্য, আপেক্ষিক উদ্দেশ্য। বিষয় বস্তু আমাদের দেশের সিলেবাসে যথেষ্ট সমৃদ্ধ। কানাডার মাধ্যমিক কারিকুলামকেও দুর্বল বলবো না, কারন এই কারিকুলামই ছাত্রদের এগিয়ে নিয়ে যাচ্ছে উচ্চতর শিক্ষার দোর গোড়ায়। আসি এবার কারিকুলামের মূল উদ্দেশ্য বা gross expectation সম্পর্কে বলতে চাই। যদি বলি গণিত শিক্ষার মুল উদ্দেশ্যকে আমরা কিভাবে চিহ্নিত করতে পারি? বিষয়বস্তুর উপরে প্রশ্ন করতে পারা, সাজেষ্ট করতে পারা, ব্যবহারিক কোন অনুরূপ উদাহরন তৈরী করতে পারা, ভুল ধরতে পারা, বিশ্লষন করতে পারা, এইসব সক্ষমতা অর্জনই হলো একটা কারিকুলামের একটা বিশেষ কোর্সের মূল উদ্দেশ্য। এটা অন্য যে কোন কোর্সের বেলায় যেমন সত্য গণিতের বেলায়ও তেমনি সত্য। এবার আপেক্ষিক উদ্দেশ্য সম্পর্কে বলতে হয়, এখানে গণিতের প্রতিটা টপিক্সের আলাদা আলাদা উদ্দেশ্য থাকতে হবে। যেমন, উদাহরন সরূপ বলা যায়, বাইনোমিয়াল থিওরিয়াম শিখলে আমি গণিতের কোন কোন টপিক্স সমাধা করতে পারবো এবং এগুলোর ব্যবহারিক দিকও বা কি হতে পারে। এই উদ্দেশ্যগুলো পূর্ণ করার উপায় সমূহকে সামনে নিয়ে আসবে- এক শিক্ষক, দুই টেক্সট বুক। এখানে টেক্সট বুকটা খুবই জরুরী, কারন সে এইসব উদ্দেশ্য সাধনের উপায় শিক্ষকও ছাত্র উভয়ের সামনে নিয়ে আসে। কারন সব বই টেক্সট বই না। শিক্ষক কোন বই পুঙ্খানুপুঙ্খ রূপে পড়ে তবে টেক্সট বই নির্বাচিত করেন। এক্ষেত্রে ভাল শিক্ষক একাধিক টেক্সট বই নির্বাচন করেন, যাতে একই বিষয়ের ভিন্ন ভিন্ন প্রকাশ ভঙ্গি, বিশ্লেষন সম্পর্কে ছাত্রদের পরিচয় ঘটে। আরেকটা কারনে ভাল টেক্সট বই দরকার, সেটা হলো সব সময় শিক্ষকের সামলে কারিকুলাম খোলা থাকে না বা সেদিকে তার মনোনিবেশ নাও থাকতে পারে। সে ক্ষেত্রে ভাল টেক্সট বই মূল ও আপেক্ষিক উদ্দেশ্যকে সমাধা করার পথে বাধা অনেকটা অতিক্রম করতে পারে। এখানে ব লা দরকার, বাংলাদেশে ভাল কোন টেক্সট বইয়ের যথেষ্ট অভাব রয়েছে, যা কোন কোর্সের মূলও আপেক্ষিক উদ্দেশ্য সাধনে যথেষ্ট বাধা। শিক্ষককে এখানকার কারিকুলাম কেন খুব ভাল ভাবে বুঝতে ও জানতে হবে সে বিষয়ে বলি। কারন কারিকুলামের উদ্দেশ্য সমূহ জানা থাকলে পড়াবার পদ্ধতিটাও খুব সহজে শিক্ষকের হাতের মুঠোয় চলে আসে। এই কারনে কানাডার সব প্রভিন্সের কারিকুলামে বিষয় বস্তুর ভিন্নতা থাকা সত্তেও, তার উদ্দেশ্য সমূহ এক হবার কারনে তাদের শিক্ষাদান পদ্ধতি প্রায় এক ও অভিন্ন। ফলে যে কোন প্রভিন্সের শিক্ষার্থী অন্য যে কোন প্রদেশের শিক্ষা ও শিক্ষাদানের পদ্ধতির সাথে মানিয়ে নিতে পারে।

এবার বলি কানাডায় টিউটোরিয়াল ব্যবসার কিছু কথা, যা বাংলাদেশে পথেঘাটে যথেষ্ট সংখ্যায় দেখতে পাওয়া যায়। বলে রাখা ভাল এদেশে প্রাইভেট টিউটোরিয়াল ততটা জনপ্রিয় নয়, কারন রিসোর্সের সংখ্যা বেশী এবং শ্রেণিকক্ষে পড়াশুনায় তেমন ফাঁক থাকে না। তারপরেও কিছু ফ্রেন্সাইজ কিছু নন-ফ্রেন্সাইজ প্রাইভেট টিউটোরিয়া গড়ে উঠেছে এবং যথেষ্ট দক্ষতার সাথে সেবা দিয়ে যাচ্ছে। আমার নিজেও একটা টিউটোরিয়া সেন্টার ছিল এবং এখনও আছে কোন রকমে। আমার যা মনে হয়েছে, এখানে একজন প্রাইভেট টিঊটরকে একজন স্কুলের শিক্ষকের থেকে দক্ষ ও প্রম্পট হতে হয়। কারন বিদ্যালয়ের শিক্ষকের অধিকাংশ সময়ে বিষয়সুচী থাকে এবং সেখান থেকে ছাত্ররা প্রশ্ন করে, কিন্তু টিঊটরকে তার ছাত্র যে কোন স্থান থেকে প্রশ্ন করতে পারে এবং তা অত্যাল্প সময়ের ভিতরে শিক্ষার্থীর সামনে তুলে ধরতে হবে টিঊটরকে। একটা ওয়েবসাইটও বানিয়েছিলাম আমার ছাত্রদের জন্যে, যেখানে বারো ক্লাসের ক্যল্কুলাস ও ফাংশনের অনেকগুলো ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান করে দিয়েছি। যারা শিক্ষক তাদের উপকারে আসতে পারে এই কারনে ওয়েব এড্রেসটা দিলাম। এই ওয়েব সাইটে কিছু হাবিজাবি কনভেন্সিং টেক্সট আছে, এগুলোকে ডিসরিগার্ড বা উপেক্ষা করলে খুশি হব। ব্যস্ততার কারনে সেখানে আরো বেশী অংকের সমস্যা পোষ্ট করতে পারিনি। তবে কানাডায় স্কুল বোর্ডের তালিকাভুক্ত কোন শিক্ষকের প্রাইভেট টিউটরিং করা আইনত নিষেধ এর ব্যতিক্রম ঘটলে তাকে চাকরী থেকে বরখাস্ত করা হয়ে থাকে।

www.lifelonglearningwithwit.yolasite.com

গণিতের একটা শাখা ক্যালকুলাস ও ভেক্টর, সেখানে ১২ গ্রেডের গ্রস ও স্পেসিফিক এক্সপেক্টেসন কি কি তার পয়েন্ট বাই পয়েন্ট উল্লেখ করা হয়েছে ঐ কোর্সের কারিকুলামে বিস্তারিত ভাবে। এটা করা খুবই জরুরী, কারন তানা হলে শিক্ষক হিসাবে আপনি কিভবে, কখন পড়াবেন তার কোন পথ পাবেন না। কারিকুলামের সেই অংশ টুকু এখানে আপনাদের তুলনামুল্ক বিচারের সুবিদার্থে তুলে ধরলাম, কোন শিক্ষক উপকৃত হলে আমার এই প্রয়াস সার্থক হবে।

MATHEMATICAL PROCESS EXPECTATIONS

The mathematical processes are to be integrated into student learning in all areas of this course.
Throughout this course, students will:
• develop,select, apply, compare, and adapt a variety of problem-solving
strategies asthey pose and solve problems and conduct investigations, to
help deepentheir mathematical understanding;
• developand apply reasoning skills (e.g., use of inductive reasoning, deductive
reasoning, and counter-examples; construction of proofs) to make mathematical
conjectures,assess conjectures, and justify conclusions, and plan and construct
organized mathematical arguments;
• demonstrate that they are reflecting on and monitoring their thinking to
help clarify their understanding as they complete an investigation or solve a
problem (e.g.,by assessing the effectiveness of strategies and processes used,
by proposing alternative approaches, by judging the reasonableness of results,
by verifying solutions);
• selectand use a variety of concrete, visual, and electronic learning tools and
appropriate computational strategies to investigate mathematical ideas and
to solveproblems;
• makeconnections among mathematical concepts and procedures, and relate
mathematical ideas to situations or phenomena drawn from other contexts
(e.g., othercurriculum areas, daily life, current events, art and culture, sports);
• createa variety of representations of mathematical ideas (e.g., numeric,
geometric,algebraic, graphical, pictorial representations; onscreen dynamic
representations),connect and compare them, and select and apply the
appropriate representations to solve problems;
• communicate mathematical thinking orally, visually, and in writing, using precise
mathematical vocabulary and a variety of appropriate representations, and
observing mathematical conventions.

এখানে কেন আমি উদ্দেশ্য বা এক্সপেক্টেশনের কথা বলছি এই কারনে যে, প্রত্যেক কাজের ফলাফল বা আউটকাম সবসময় প্রপার মোটিভেশন বা নিয়তের উপরে নির্ভর করে, একথা কে না জানে। কাজ মানে কারিকুলামের বিষয়বস্তুগত শিক্ষাদান শুরুর আগে যদি গন্তব্য ও উদ্দেশ্য সম্পর্কে একটা প্লানিং বা মাইন্ড সেট তৈরী করে নেয়া যায় তাহলে কাঙ্খিত ফলাফল্ হাতে আসতে বাধ্য। আমার স্থির বিশ্বাস বাংলাদেশের বাংলাদেশের মাধ্যমিক ও উচ্চমাধ্যমিক বিভাগে এই নীতি এবং নির্দেশনা অনুসরণ করলে আমাদের সাফল্য আসবে। বাংলাদেশে যারা মাধ্যমিক ও উচ্চমাধ্যমিক শিক্ষাদানের সাথে সরাসরি জড়িত বা যারা শিক্ষাবিভাগের সাথে কাজ করছেন, তাদের জন্যে আলোচনা ও প্রশ্ন-উত্তরের সুযোগ খোলা থাকলো। ধন্যবাদ সবাইকে ধৈর্য্য ধরে পড়ার জন্যে।