কষ্টকাল্পনিক ৪ (শেষ পর্ব)

উৎসর্গ: নৃপেন্দ্র সরকার
কষ্টকাল্পনিক ১/ ২/ ৩

ধরা যাক, $latex n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। তাহলে $latex 1$ এবং $latex n$ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা^[১] রয়েছে? যেমন $latex n$ যদি হয় ১০, তাহলে ১ ও ১০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা আছে ৪টি (২, ৩, ৫, ৭)।

যেকোন $latex n$ এর জন্য কি এই প্রশ্নের উত্তর কোন সুন্দর ফর্মুলার মাধ্যমে পাওয়া যায়? এই প্রশ্নের উত্তর গণিতে মৌলিক সংখ্যা থিয়োরেম নামে পরিচিত। উত্তরটি হল $latex \frac{n}{\ln n}$ (মোটামুটি ভাবে), যেখানে $latex \ln n$ হচ্ছে $latex n$ এর natural logarithm।

মৌলিক সংখ্যা বিষয়ক এই প্রশ্নটি উনবিংশ শতাব্দীর প্রথমদিকে গণিতবিদদের চিন্তিত করে তোলে। উত্তরটি যে $latex \frac{n}{\ln n}$, সেটা অনুমান হিসেবে প্রতিষ্ঠিত হয়ে যায় উনবিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি নাগাদ। কিন্তু এটি প্রমাণ করার জন্য অপেক্ষা করতে হয় ১৮৯৬ পর্যন্ত যখন একই সাথে হাদামার্দ ও দে লা ভেলে পুস্যাঁ এই অনুমানকে প্রমাণ করেন। এসব কথা যে জন্য বলছি তা হল এই যে, দুজনই কাল্পনিক সংখ্যার সাহায্যে complex analysis ব্যবহার করে প্রমাণটি করেন। খুবই বিস্ময়কর ব্যাপার, কারণ প্রশ্নটা কাল্পনিক সংখ্যা বিষয়ক নয় একেবারেই। বস্তুত complex analysis ব্যবহার না করে মৌলিক সংখ্যা থিয়োরেম প্রমাণ করা সম্ভব কিনা, এটি বিংশ শতাব্দীর প্রথম দিকে একটি বিরাট প্রশ্ন হিসেবে দেখা দেয়। এই প্রশ্নের জবাব পাওয়া যায় বছর তিরিশেক পরে যখন প্রায় একই সময়ে বিংশ শতাব্দীর প্রধান দুই গণিতবিদ complex analysis ছাড়াই এই থিয়োরেমটি পুনঃপ্রমাণ করেন। স্যালবার্গ ও পল এরদিশের মধ্যে কে আগে প্রমাণটি করেছেন এ নিয়ে তাঁদের মধ্যে তীব্র তিক্ততার গল্প পশ্চিমের গণিত বিভাগগুলির ক্লাসরুমে-করিডোরে আজও শুনতে পাওয়া যায়।

তাহলে দেখছি, সাধারণ সংখ্যা বিষয়ক একটি প্রশ্ন কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবহার করে প্রমাণ করাটা অপেক্ষাকৃত সোজা, বা অন্তত ঐতিহাসিক ভাবে অনেক আগে খুঁজে পাওয়া সম্ভব হয়েছিল। শুধু তাই নয়, আজ অব্দি এবিষয়ক প্রশ্নের উত্তরে কাল্পনিক সংখ্যা ভিত্তিক analysis সব সময়েই ব্যবহৃত হয়। দুর্ভাগ্যক্রমে এর কারণটা সাধারণ ভাষায় প্রকাশ করা একটু দুষ্কর — শুধু এটুকুই বলা যাক যে কাল্পনিক সংখ্যা-ব্যবস্থা এমন কিছু টেকিনিক্যাল সুবিধা দেয় যার কারণে সাধারণ সংখ্যা বিষয়ক বহু প্রশ্নের জবাব খঁোজার জন্য গণিতবিদ ও বিজ্ঞানীরা কাল্পনিক সংখ্যার দ্বারস্থ হন।

তবে ইলেক্ট্রিকাল ইঞ্জিনিয়ারিং-এ কাল্পনিক সংখ্যার একটি নান্দনিক প্রয়োগ রয়েছে যেটি প্রায় পুরোপুরি ব্যাখ্যা করা সম্ভব হবে বলে আশা করছি। তবে এর জন্য আগে আমাদের জানতে হবে অয়লারের ফর্মুলা: যেকোন সংখ্যা $latex \theta$ র জন্য $latex e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.

এই সমীকরণের বাম দিকে রয়েছে e (=2.71828183) এর একটি কাল্পনিক ঘাত, আর ডান দিকে একটি ত্রিকোণমিতিক ফর্মুলা। এই অত্যাশ্চর্য সমীকরণ বীজগণিত ও ত্রিকোণমিতির মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে কাল্পনিক সংখ্যার মাধ্যমে। বস্তুত এই সমীকরণের প্রয়োগ এতই ব্যাপক যে লিখে কুলিয়ে ওঠা সম্ভব নয়।

যাহোক তড়িৎ কৌশলে কাল্পনিক সংখ্যা ও অয়লারের ফর্মুলার ব্যবহার দেখা যাক। দুই প্রকারের তড়িৎ প্রবাহের সাথে আমরা পরিচিত — ডিসি এবং এসি, এর মধ্যে এসি কারেন্টের ক্ষেত্রে কারেন্ট ও ভোল্টেজের পরিমাণ অনবরত ওঠানামা করতে থাকে। যেমন এসি ভোল্টেজের ওঠানামা হতে পারে নিচের ছবিটির মত।

এই ছবিতে X-অক্ষ বরাবর সময় ও Y-অক্ষে বিভিন্ন সময়ে ভোল্টেজের পরিমাপ দেখানো হচ্ছে — এবং এই ভোল্টেজ উঠছে নামছে একটি ত্রিকোণমিতিক ফর্মুলা অনুযায়ী। এই ছবির ক্ষেত্রে ফর্মুলাটি এরকম — সময় $latex t$ তে ভোল্টেজের মান $latex 10 \cos t$ হবে। এসি কারেন্টের ক্ষেত্রে ভোল্টেজ এরকম ওঠে নামে কেন? এই প্রশ্নের উত্তর লুকিয়ে আছে এসি কারেন্ট কিভাবে উৎপাদিত হয় তার মধ্যে। আপাতত সেটা নিয়ে আমরা চিন্তিত নই। এসি কারেন্টের বৈশিষ্ট্যই এরকম, এটা মেনে নিয়ে আমরা চাইছি একটি গাণিতিক প্রকাশভঙ্গি খুঁজে পেতে যেটি এসি কারেন্ট বিষয়ক বিভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দিতে সহায়তা করবে।

লক্ষ্য করুন, প্রথম ছবির ঢেউটির কিছুক্ষণ পর পর পুনরাবৃত্তি ঘটছে। অর্থাৎ দীর্ঘ ঢেউটিকে নিচের চিত্র ২ এর ছোট ঢেউটিরই পুনরাবৃত্তি বলে মনে করা যায়।

এখন, ভোল্টেজ বা কারেন্ট বিষয়ক হিসেব নিকেশে অনেক সময়ই এই ছোট ঢেউ-এর ঠিক কোথায় আমরা আছি সেটি প্রকাশ করবার প্রয়োজন ঘটে। যেমন ধরুন নিচের চিত্র ৩-এ দুটি নীল বিন্দু আর একটি লাল বিন্দু — এদের গাণিতিক প্রকাশ কি রকম হতে পারে?

আমরা ভাবতে পারি, ওই বিন্দু গুলিতে ভোল্টেজের মান দিয়েই তো এদের প্রকাশ করা যায়। যেমন, লাল বিন্দুটিকে প্রকাশ করা যেতে পারে -৮ সংখ্যাটি দিয়ে। সমস্যা হল, এই ছোট ঢেউটির মধ্যে একই মান বিশিষ্ট দুটি করে বিন্দু আছে। যেমন, নীল বিন্দু দুটির মানই 5। তাহলে এদের মধ্যে পার্থক্য করব কিভাবে? একটা উপায় হল, সময়টাও জুড়ে দেয়া। তাহলে একটি নীল বিন্দু হচ্ছে $latex (5, \pi/3)$, আরেকটি হচ্ছে $latex (5, 2 \pi/3)$^[২]। এই রূপায়ণ ব্যবহার করা যেতে পারে ও হয়েও থাকে। কিন্তু প্রকাশটি কিছুটা জবড়জং, কারণ দুটি সংখ্যা নিয়ে চলতে ফিরতে হচ্ছে এবং সাধারণ যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগের প্রয়োগ এক্ষেত্রে অনান্দনিক।

এক্ষেত্রে কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবহার করে একটি চমৎকার রূপায়ন সম্ভব। প্রথম নীল বিন্দুটিকে আমরা প্রকাশ করব $latex 10 e^{i \pi/3} = 10 e^{i \times 1.04} $ দিয়ে। বা সাধারণ ভাবে, সময় $latex t$ তে যে মানটি পাচ্ছি তাকে $latex 10 e^{i t}$ দিয়ে। এই রূপায়ন এত শক্তিশালি কেন? একদিকে লক্ষ্য করুন আমরা এখন ব্যবহার করছি একটি মাত্র সংখ্যা (হোক সে সংখ্যা কাল্পনিক) কাজেই সংখ্যা ব্যবস্থার যে গাণিতিক ঐতিহ্য তার পুরোটা ব্যবহার করা সম্ভব হচ্ছে। অন্যদিক, অয়লারের ফর্মুলা অনুযায়ী প্রথম নীল বিন্দুটির জন্য পাচ্ছি:

$latex 10 e^{i \pi/3} = 10 \cos \pi/3 + i 10 \sin \pi/3 = 5 + i 10 \sin \pi/3$

অর্থাৎ $latex (5, \pi/3)$ এই রূপায়নেরই একটি ফর্মকে আমরা একটি মাত্র কাল্পনিক সংখ্যার মধ্যে প্যাকেজজাত অবস্থায় পাচ্ছি। আর প্রয়োজন হলেই কাল্পনিক সংখ্যার রূপায়ন থেকে ওই দুই সংখ্যা বিশিষ্ট রূপায়ণটি ফিরে পাওয়া সম্ভব।

পাঠক হয়ত ভাবতে পারেন, একটি বিশেষ সময়ের ভোল্টেজ $latex 10 e^{i \pi/3}$, একথাটার অর্থ কি? ভোল্টেজ একটা সাধারণ সংখ্যা, যন্ত্রপাতি দিয়ে তাকে মাপা যায় প্রয়োজনে, সেই ভোল্টেজ “কাল্পনিক” হতে যাবে কেন? এই সিরিজের প্রথম দিকে এবং গণি-অগ্নির আলোচনায় একথাটার জবাব আছে। ভোল্টেজ “আসলে” যাই হোক না কেন সেটা গুরুত্বপূর্ণ নয়। মোদ্দা কথাটা হল, ভোল্টেজ সম্বন্ধে কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য আমরা কাল্পনিক সংখ্যার ভাষা ব্যবহার করে প্রকাশ করতে পারছি, যার রূপায়ণ নান্দনিক, এবং টেকনিক্যালি সুবিধাজনক। পাঠক শুনে আনন্দ পেতে পারেন, শুধু এসি ভোল্টেজেই নয়, মোবাইল কমিউনিকেশনেও সিগন্যাল আদান-প্রদান বোঝাবার জন্য ঠিক এই রূপায়নটিই ব্যবহার করা হয়।

কিন্তু টেকনিক্যালি সুবিধাজনক কেন? একটা ছোট উদাহরণ দিই। ওহমের সূত্রের কথা মনে থাকতে পারে হয়ত। ব্যাপারটি সরল। একটি মাধ্যমের মধ্য দিয়ে যখন বিদ্যুৎ প্রবাহিত হয়, তখন মাধ্যমটি বিদ্যুৎকে “বাধা” দিতে থাকে এবং এই বাধা বা resistance নিয়ন্ত্রণ করে ভোল্টেজ ও কারেন্টের সম্পর্ক। যেমন, ভোল্টেজ যদি হয় ১০ আর রেসিসটেন্স যদি হয় ২, তাহলে কারেন্ট হবে ১০/২ = ৫। গাণিতিক পরিভাষায়
$latex V = I \times R$ যেখানে V হচ্ছে ভোল্টেজ, I হচ্ছে কারেন্ট আর R হচ্ছে রেসিসট্যান্স।

ওহমের সূত্রের কথা যা বললাম সেটা ডিসি কারেন্টের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এখন, এসি কারেন্টের ক্ষেত্রেও ওহমের সূত্র যদি কার্যকর হত, তাহলে ব্যাপারটা হত এরকম, যেকোন মুহূর্তে কারেন্টের মান পাওয়ার জন্য সেই মুহূর্তের ভোল্টেজর মানকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে, নিচের ছবিটির মত।

লক্ষ্য করুন, ভোল্টেজ ও কারেন্ট একই ভঙ্গিতে ঢেউ খেলে চলেছে, শুধু কারেন্টের ঢেউটি আকারে ছোট।

আসলে এসি কারেন্টের ক্ষেত্রে খেলাটা একটু ভিন্ন। মাধ্যমটি শুধু যে বাধা দেয় তাই নয়, কারেন্টকে কিছুটা “সরিয়ে” দেয়, অর্থাৎ কারেন্টের ঢেউটি শুধু আকারে ছোট হয়ে যায় না, ডানে বা বামে একটু সরেও যায়, নিচের ছবির মত।

সরে যাওয়ার ব্যাপারটিকে স্পষ্ট হয়েছে? না হয়ে থাকলে, উপরের সরে যাওয়া ছবির সাথে তার আগের ছবিটির কারেন্টের অংশের ছবি একসাথে দেখলে হয়ত বোঝা যাবে।

লক্ষ্য করুন নিচের ছবিটি উপরের ছবিরই একটু “সরে যাওয়া” রূপ, যেমন প্রথম ঢেউটি শুরু হচ্ছে একেবারে উপরে ৫ কারেন্ট দিয়ে, কিন্তু দ্বিতীয়টি শুরু হচ্ছে অনেকটা নিচে শূণ্য কারেন্টে।

কেন এমন হয় সেটা পদার্থবিদ্যার প্রশ্ন, সেটা নিয়ে আমরা চিন্তিত নই। আমরা যেটা জানতে চাচ্ছি তাহল এই phenomenon কে কিভাবে সুন্দর ভাবে মডেল করা সম্ভব, যাতে ওহমের সূত্রের মত একটি পরিচ্ছন্ন সূত্র পাওয়া সম্ভব। বিস্ময়ের ব্যাপার হল, এই দুধারি রেসিসট্যান্স (যাকে বলা হয় Impedance) কে যদি একটি কাল্পনিক সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তাহলে হিসেব ঠিক ঠিক মিলে যায়। আগেই দেখেছি ভোল্টেজকে কাল্পনিক সংখ্যা হিসেবে প্রকাশিত হতে, এখন ইমপিডেন্স এবং কারেন্টকেও কাল্পনিক সংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করলে আমরা পেয়ে যাচ্ছি ওহমের সূত্রের এসি রূপায়ণ
$latex V = I \times Z$ যেখানে V হচ্ছে ভোল্টেজ, I হচ্ছে কারেন্ট আর Z হচ্ছে ইমপিডেন্স, এবং তিনটিই কাল্পনিক সংখ্যা।

যেমন, ইমপিডেন্স যদি হয় $latex Z = 2 e^{i \pi/2}$, তাহলে সময় $latex t$ তে কারেন্টের মান $latex I = V/Z = 10 e^{it}/2 e^{i \pi/2} = 5 e^{i (t – \pi/2)}$। এই গাণিতিক রূপ যে আমাদের শেষ দুটি ছবির “সরে যাওয়া” কারেন্টের ছবির সাথে ঠিক ঠিক মিলে যাচ্ছে পাঠক চাইলে যাচাই করে দেখতে পারেন। পাঠক আরেকটু ভাবলে বুঝতে পারবেন, কাল্পনিক সংখ্যা ব্যবহার না করে অন্য যে দুই সংখ্যা ওয়ালা রূপায়ণটি দেখেছিলাম আগে, সেটিকে এখানে কাজে লাগাতে গেলে অনেক জটিলতার সৃষ্টি হত। অন্যভাবে বলা যায়, “বাধা দেয়া” এবং “সরে যাওয়া”, ইমপিডেন্স-এর দুই বৈশিষ্ট্য চমৎকার ভাবে একটি কাল্পনিক সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা সম্ভব, যা অন্য কোন ব্যবস্থায় এতটা সহজ নয়।

এর পরও একটি প্রশ্ন হয়ত থাকে: এই বিশেষ বৈদ্যুতিক phenomenon এর মডেলে কাল্পনিক সংখ্যাটা এরকম অত্যাশ্চর্য ভাবে লেগে গেল কিভাবে? এর একটা জবাব আছে। গত পর্বে, মনে করে দেখুন, কাল্পনিক সংখ্যাকে একধরণের ঘূর্ণন হিসেবে দেখেছিলাম আমরা। এখন, এসি কারেন্ট কিভাবে তৈরি হয়? তৈরি হয় ম্যাগনেটিক ফিল্ডের মধ্যে একটি কয়েলকে বাঁই বাঁই করে ঘুরিয়ে।

শুধু তাই নয়, এই ঘোরানোর সাথে ভোল্টেজ ঢেউ এর ওঠানামার একটা সরাসরি সম্পর্ক আছে। Impedance যে কাজটা করে, সেটাকে তুলনা করা যায় ঘুরতে থাকা কয়েলটাকে অল্প কিছুক্ষণ চেপে রাখার সাথে বা কয়েলটাকে উল্টো দিকে ঘুরিয়ে দেয়ার সাথে। পুরো ব্যাপারটাই অতএব ঘূর্ণনের ধারণার সাথে সংশ্লিষ্ট, তাই কাল্পনিক সংখ্যার প্রয়োগটা আসলে বেশ স্বাভাবিকই।

কাল্পনিক সংখ্যা নিয়ে কচকচি এখানেই শেষ করছি।